ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 567 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) 3a/(a^3-1)-3/(a^2+a+1)-1/(a-1);
б) 2/(a+2)-6/(a^2-2a+4)-24/(a^3+8).

Переписанный текст:

а)

$$\frac{3a}{a^3 — 1} — \frac{3}{a^2 + a + 1} — \frac{1}{a — 1}$$

$$= \frac{3a}{(a-1)(a^2 + a + 1)} — \frac{3}{a^2 + a + 1} — \frac{1}{a — 1}$$

$$= \frac{3a — 3(a-1) — (a^2 + a + 1)}{(a-1)(a^2 + a + 1)}$$

$$= \frac{3a — 3a + 3 — a^2 — a — 1}{a^3 — 1}$$

$$= \frac{-a^2 — a + 2}{a^3 — 1}$$

$$= \frac{(a+2)(a-1)}{(1-a)(1+a+a^2)}$$

$$= -\frac{a+2}{1+a+a^2}.$$

б)

$$\frac{2}{a+2} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{24}{a^3 + 8}$$

$$= \frac{2}{a+2} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{24}{(a+2)(a^2 — 2a + 4)}$$

$$= \frac{2(a^2 — 2a + 4) — 6(a+2) — 24}{(a+2)(a^2 — 2a + 4)}$$

$$= \frac{2a^2 — 4a + 8 — 6a — 12 — 24}{a^3 + 8}$$

$$= \frac{2a^2 — 10a — 28}{a^3 + 8}$$

$$= \frac{2(a^2 — 5a — 14)}{a^3 + 8}$$

$$= \frac{2(a-7)(a+2)}{(a+2)(a^2 — 2a + 4)}$$ $$= \frac{2a — 14}{a^2 — 2a + 4}.$$

$$\boxed{\text{Переписанный текст соответствует исходному тексту без изменений.}}$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{3a}{a^3 — 1} — \frac{3}{a^2 + a + 1} — \frac{1}{a — 1}$$

Разложим знаменатель первой дроби:

$$a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)$$

Теперь перепишем всё выражение с общим знаменателем:

$$= \frac{3a}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{3(a — 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} — \frac{(a^2 + a + 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)}$$

Объединим числители:

$$= \frac{3a — 3(a — 1) — (a^2 + a + 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$3a — 3a + 3 — a^2 — a — 1 = -a^2 — a + 2$$

Итак, получаем:

$$= \frac{-a^2 — a + 2}{(a — 1)(a^2 + a + 1)}$$

Теперь преобразуем числитель:

$$-a^2 — a + 2 = -(a^2 + a — 2) = -(a + 2)(a — 1)$$

Тогда:

$$= \frac{-(a + 2)(a — 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)}$$

Сокращаем на $a — 1$:

$$= \frac{-(a + 2)}{a^2 + a + 1}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{a+2}{a^2 + a + 1}}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2}{a + 2} — \frac{6}{a^2 — 2a + 4} — \frac{24}{a^3 + 8}$$

Заметим, что:

$$a^3 + 8 = (a + 2)(a^2 — 2a + 4)$$

Общий знаменатель: $(a + 2)(a^2 — 2a + 4)$

Перепишем все дроби с этим знаменателем:

• первую домножим на $a^2 — 2a + 4$
• вторую — на $a + 2$
• третья уже имеет нужный знаменатель

$$= \frac{2(a^2 — 2a + 4) — 6(a + 2) — 24}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2a^2 — 4a + 8 — 6a — 12 — 24 = 2a^2 — 10a — 28$$

Итак:

$$= \frac{2a^2 — 10a — 28}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}$$

Вынесем 2 за скобки:

$$= \frac{2(a^2 — 5a — 14)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}$$

Разложим числитель:

$$a^2 — 5a — 14 = (a — 7)(a + 2)$$ $$= \frac{2(a — 7)(a + 2)}{(a + 2)(a^2 — 2a + 4)}$$

Сократим на $a + 2$:

$$= \frac{2(a — 7)}{a^2 — 2a + 4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2a — 14}{a^2 — 2a + 4}}$$

$$\boxed{ \text{а) } -\frac{a+2}{a^2 + a + 1}; \quad \text{б) } \frac{2a — 14}{a^2 — 2a + 4} }$$