ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 566 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) (a+2)/(a-5)-3a/(a^2-7a+10)-2/(a-2)=(3-a)/(5-a);
б) 1+(a-4)/(a-3)-a/(a+4)-7a/(a^2+a-12)=(a-7)/(a-3).

а)

$$\frac{a+2}{a-5} — \frac{3a}{a^2-7a+10} — \frac{2}{a-2} = \frac{3-a}{5-a}$$

$a^2 — 7a + 10 = (a-5)(a-2)$.
$a_1 a_2 = 10, \quad a_1 + a_2 = 7$;
$a_1 = 5, \quad a_2 = 2$.

$$\frac{a+2}{a-5}-\frac{3a}{(a-5)(a-2)}-\frac{2}{a-2}=\frac{3-a}{5-a}$$

$$\frac{a+2}{a-5} — \frac{3a}{(a-5)(a-2)} — \frac{2}{a-2} = \frac{3-a}{5-a}$$ $$\frac{(a+2)(a-2)-3a-2(a-5)}{(a-5)(a-2)}=\frac{3-a}{5-a}$$

$$\frac{(a+2)(a-2) — 3a — 2(a-5)}{(a-5)(a-2)} = \frac{3-a}{5-a}$$ $$\frac{a^2-4-3a-2a+10}{(a-5)(a-2)}=\frac{3-a}{5-a}$$

$$\frac{a^2 — 4 — 3a — 2a + 10}{(a-5)(a-2)} = \frac{3-a}{5-a}$$ $$\frac{a^2 — 5a + 6}{(a-5)(a-2)} = \frac{3-a}{5-a}$$

$a^2 — 5a + 6 = (a-2)(a-3)$.
$a_1 a_2 = 6, \quad a_1 + a_2 = 5$;
$a_1 = 2, \quad a_2 = 3$.

$$\frac{(a-2)(a-3)}{(a-5)(a-2)}=\frac{3-a}{5-a}$$

$$\frac{(a-2)(a-3)}{(a-5)(a-2)} = \frac{3-a}{5-a}$$ $$\frac{a-3}{a-5} = \frac{3-a}{5-a}.$$

б)

$$1 + \frac{a-4}{a-3} — \frac{a}{a+4} — \frac{7a}{a^2+a-12} = \frac{a-7}{a-3}$$

$a^2 + a — 12 = (x+4)(x-3)$.
$a_1 a_2 = -12, \quad a_1 + a_2 = -1$;
$a_1 = -4, \quad a_2 = 3$.

$$1+\frac{a-4}{a-3}-\frac{a}{a+4}-\frac{7a}{(a+4)(a-3)}=\frac{a-7}{a-3}$$

$$1 + \frac{a-4}{a-3} — \frac{a}{a+4} — \frac{7a}{(a+4)(a-3)} = \frac{a-7}{a-3}$$ $$\frac{(a+4)(a-3) + (a-4)(a+4) — a(a-3) — 7a}{(a+4)(a-3)} = \frac{a-7}{a-3}$$

$$\frac{a^2 + a — 12 + a^2 — 16 — a^2 + 3a — 7a}{(a+4)(a-3)} = \frac{a-7}{a-3}$$

$$\frac{a^2 — 3a — 28}{(a+4)(a-3)} = \frac{a-7}{a-3}$$

$a^2 — 3a — 28 = (a-7)(a+4)$.
$a_1 a_2 = -28, \quad a_1 + a_2 = 3$;
$a_1 = 7, \quad a_2 = -4$.

$$\frac{(a-7)(a+4)}{(a+4)(a-3)}=\frac{a-7}{a-3}$$

$$\frac{(a-7)(a+4)}{(a+4)(a-3)} = \frac{a-7}{a-3}$$ $$\frac{a-7}{a-3} = \frac{a-7}{a-3}.$$

$$\boxed{\text{Переписанный текст соответствует исходному тексту без изменений.}}$$

а)

Рассмотрим выражение:

$$\frac{a+2}{a-5} — \frac{3a}{a^2 — 7a + 10} — \frac{2}{a-2} = \frac{3 — a}{5 — a}$$

Шаг 1. Разложим знаменатель
Разложим многочлен:

$$a^2 — 7a + 10 = (a — 5)(a — 2)$$

Проверка:
$a_1 + a_2 = 7$, $a_1 \cdot a_2 = 10$ — подходят $5$ и $2$.

Шаг 2. Приведём левую часть к общему знаменателю
Общий знаменатель: $(a — 5)(a — 2)$

Приведем каждый дробный элемент:

$$\frac{a+2}{a-5} = \frac{(a+2)(a-2)}{(a-5)(a-2)}$$ $$\frac{3a}{(a-5)(a-2)} \text{ — уже готово}$$ $$\frac{2}{a-2} = \frac{2(a-5)}{(a-2)(a-5)}$$

Объединяем всё:

$$\frac{(a+2)(a-2) — 3a — 2(a — 5)}{(a — 5)(a — 2)}$$

Шаг 3. Раскрываем скобки в числителе

$$(a+2)(a-2)=a^2-4\text{(по формуле разности квадратов)}$$

$$(a+2)(a-2) = a^2 — 4 \quad \text{(по формуле разности квадратов)}$$ $$-3a\text{ — без изменений}$$

$$— 3a \text{ — без изменений}$$ $$-2(a — 5) = -2a + 10$$

Собираем числитель:

$$a^2 — 4 — 3a — 2a + 10 = a^2 — 5a + 6$$

Таким образом:

$$\frac{a^2 — 5a + 6}{(a — 5)(a — 2)} = \frac{3 — a}{5 — a}$$

Шаг 4. Разложим числитель

$$a^2 — 5a + 6 = (a — 2)(a — 3)$$

Подставим:

$$\frac{(a — 2)(a — 3)}{(a — 5)(a — 2)} = \frac{a — 3}{a — 5}$$

Учитывая, что $\frac{3 — a}{5 — a} = \frac{-(a — 3)}{-(a — 5)} = \frac{a — 3}{a — 5}$,
мы получаем:

$$\frac{a — 3}{a — 5} = \frac{a — 3}{a — 5}$$

Вывод: равенство верно.

б)

Рассмотрим выражение:

$$1 + \frac{a — 4}{a — 3} — \frac{a}{a + 4} — \frac{7a}{a^2 + a — 12} = \frac{a — 7}{a — 3}$$

Шаг 1. Разложим знаменатель

$$a^2 + a — 12 = (a + 4)(a — 3)$$

Проверка: $-4 \cdot 3 = -12$, $-4 + 3 = -1$ — подходят.

Шаг 2. Приводим всё к общему знаменателю
Общий знаменатель: $(a + 4)(a — 3)$

Перепишем каждую часть с этим знаменателем:

• $1 = \frac{(a + 4)(a — 3)}{(a + 4)(a — 3)}$
• $\frac{a — 4}{a — 3} = \frac{(a — 4)(a + 4)}{(a + 4)(a — 3)}$
• $\frac{a}{a + 4} = \frac{a(a — 3)}{(a + 4)(a — 3)}$
• $\frac{7a}{(a + 4)(a — 3)}$ — уже с нужным знаменателем

Объединяем числитель:

$$(a + 4)(a — 3) + (a — 4)(a + 4) — a(a — 3) — 7a$$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе

1. $(a + 4)(a — 3) = a^2 + a — 12$
2. $(a — 4)(a + 4) = a^2 — 16$
3. $a(a — 3) = a^2 — 3a$
4. $-7a$ — без изменений

Собираем:

$$a^2 + a — 12 + a^2 — 16 — a^2 + 3a — 7a = a^2 — 3a — 28$$

Таким образом:

$$\frac{a^2 — 3a — 28}{(a + 4)(a — 3)} = \frac{a — 7}{a — 3}$$

Шаг 4. Разложим числитель

$$a^2 — 3a — 28 = (a — 7)(a + 4)$$

Подставим:

$$\frac{(a — 7)(a + 4)}{(a + 4)(a — 3)} = \frac{a — 7}{a — 3}$$

Сократим:

$$\frac{a — 7}{a — 3} = \frac{a — 7}{a — 3}$$

Вывод: равенство верно

$$\boxed{\text{Оба выражения тождественно равны, уравнения верны при допустимых значениях переменной.}}$$