ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 565 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Напишите два каких-нибудь квадратных трехчлена, имеющие одни и те же корни, равные:
а)-4 и 5; б)-2 и -1/3; в) 1 1/2 и 2/3.

а) $x = -4$ и $x = 5$;
$(x + 4)(x — 5) = x^2 — 5x + 4x — 20 = x^2 — x — 20$.
Квадратный трехчлен $2x^2 — 2x — 40$ будет иметь такие же корни.

б) $x = -2$ и $x = -\frac{1}{3}$;
$(x + 2)\left(x + \frac{1}{3}\right) = x^2 + \frac{1}{3}x + 2x + \frac{2}{3} = x^2 + 2\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$.
Квадратный трехчлен $3x^2 + 7x + 2$ будет иметь такие же корни.

в) $x = 1\frac{1}{2}$ и $x = \frac{2}{3}$;
$\left(x — 1\frac{1}{2}\right)\left(x — \frac{2}{3}\right) = \left(x — \frac{3}{2}\right)\left(x — \frac{2}{3}\right) = x^2 — \frac{2}{3}x — \frac{3}{2}x + 1 =$
$= x^2 — \frac{4 + 9}{6}x + 1 = x^2 — \frac{13}{6}x + 1$.
Квадратный трехчлен $12x^2 — 13 \cdot 2x + 12 = 12x^2 — 26x + 12$ будет иметь такие же корни.

а) $x = -4$ и $x = 5$

Шаг 1. Запишем квадратный трёхчлен с заданными корнями по формуле:

$$(x — x_1)(x — x_2) = (x + 4)(x — 5)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$(x + 4)(x — 5) = x^2 — 5x + 4x — 20 = x^2 — x — 20$$

Шаг 3. Умножим трёхчлен на число, чтобы получить другой трёхчлен с теми же корнями:

$$2(x^2 — x — 20) = 2x^2 — 2x — 40$$

Ответ: трёхчлен $2x^2 — 2x — 40$ имеет корни $-4$ и $5$

б) $x = -2$ и $x = -\frac{1}{3}$

Шаг 1. Запишем произведение:

$$(x + 2)\left(x + \frac{1}{3}\right)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$x \cdot x + x \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot x + 2 \cdot \frac{1}{3} = x^2 + \frac{1}{3}x + 2x + \frac{2}{3}$$

Шаг 3. Приведём подобные слагаемые:

$$x^2 + \left(2 + \frac{1}{3}\right)x + \frac{2}{3} = x^2 + \frac{7}{3}x + \frac{2}{3}$$

Шаг 4. Избавимся от дробей, умножив на 3:

$$3x^2 + 7x + 2$$

Ответ: трёхчлен $3x^2 + 7x + 2$ имеет корни $-2$ и $-\frac{1}{3}$

в) $x = 1\frac{1}{2}$ и $x=\frac{2}{3}$$x = \frac{2}{3}$

Шаг 1. Преобразуем корни в неправильные дроби:

$$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2},\quad \frac{2}{3}$$

Шаг 2. Запишем произведение:

$$\left(x — \frac{3}{2}\right)\left(x — \frac{2}{3}\right)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$x^2 — \frac{2}{3}x — \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}$$

Шаг 4. Посчитаем произведение:

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{6} = 1$$

Шаг 5. Приведём дроби к общему знаменателю:

$$-\frac{2}{3}x — \frac{3}{2}x = -\left( \frac{4}{6}x + \frac{9}{6}x \right) = -\frac{13}{6}x$$

Итоговый трёхчлен:

$$x^2 — \frac{13}{6}x + 1$$

Шаг 6. Избавимся от дробей, умножив на 6:

$$6x^2 — 13x + 6$$

Шаг 7. Умножим ещё на 2 для получения трёхчлена, как в тексте:

$$12x^2 — 26x + 12$$

Ответ: трёхчлен $12x^2 — 26x + 12$ имеет корни $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ (то есть $1\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$)$12x^2 — 26x + 12$