ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 564 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дано уравнение x^2-39x+324=0. Не вычисляя корней x_1 и x_2 данного уравнения, найдите:
(x_1+x_2 )^2-2x_1 x_2; x_1^2+x_2^2; (x_1-x_2 )^2+4x_1 x_2; x_1^3+x_2^3.

$$x^2-39x+324=0,$$

$$x^2 — 39x + 324 = 0,$$ $$x_1 x_2 = 324, \quad x_1 + x_2 = 39.$$

1. $(x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 = 39^2 — 2 \cdot 324 = 1521 — 648 = 873.$
2. $x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 — 2x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 = 39^2 — 2 \cdot 324 = 873.$
3. $(x_1 — x_2)^2 + 4x_1 x_2 = x_1^2 — 2x_1 x_2 + x_2^2 + 4x_1 x_2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 = 39^2 = 1521.$
4. $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2) = 39 \cdot (x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 — 3x_1 x_2) = 39 \cdot ((x_1 + x_2)^2 — 3x_1 x_2) = 39 \cdot (39^2 — 3 \cdot 324) = 39 \cdot (1521 — 972) = 39 \cdot 549 = 21411.$

Дано квадратное уравнение:

$$x^2 — 39x + 324 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 39, \quad x_1 x_2 = 324$$

1) Найдём значение выражения $(x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2$

Формула:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2$$

Подставим значения:

$$(x_1 + x_2)^2 = 39^2 = 1521,\quad 2x_1 x_2 = 2 \cdot 324 = 648$$

Вычитаем:

$$1521 — 648 = 873$$

Ответ: $873$

2) Найдём значение $x_1^2 + x_2^2$

Используем ту же формулу:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2$$

Подставим:

$$x_1^2 + x_2^2 = 1521 — 648 = 873$$

Ответ: $873$

3) Найдём значение $(x_1 — x_2)^2 + 4x_1 x_2$

Сначала упростим выражение:

$$(x_1 — x_2)^2 + 4x_1 x_2 = x_1^2 — 2x_1 x_2 + x_2^2 + 4x_1 x_2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2$$

А это:

$$(x_1 + x_2)^2$$

Поскольку:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2$$

Подставим:

$$(x_1 + x_2)^2 = 39^2 = 1521$$

Ответ: $1521$

4) Найдём значение $x_1^3 + x_2^3$

Формула суммы кубов:

$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2)$$

Ранее мы находили:

$$x_1^2 + x_2^2 = 873,\quad x_1 x_2 = 324$$

Следовательно:

$$x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 — x_1 x_2 = 873 — 324 = 549$$

Теперь:

$$x_1^3 + x_2^3 = 39 \cdot 549$$

Посчитаем:

$$39 \cdot 549 = (40 — 1) \cdot 549 = 40 \cdot 549 — 1 \cdot 549 = 21960 — 549 = 21411$$

Ответ: $21411$$x_1^3 + x_2^3 = 21411$