ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 563 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Уравнение ax^2+bx+c имеет корни x_1 и x_2. Запишите уравнение, корни которого равны:
а) mx_1 и mx_2; б) m/x_1 и m/x_2 .

$ax^2 + bx + c = 0, \quad x_1$ и $x_2$.

а) $mx_1$ и $mx_2$:

$$mx_1 + mx_2 = m(x_1 + x_2) = m \cdot \left( -\frac{b}{a} \right) = -\frac{mb}{a};$$ $$mx_1 \cdot mx_2 = m^2(x_1x_2) = m^2 \cdot \frac{c}{a} = \frac{m^2c}{a}.$$

Уравнение имеет вид:

$$x^2 + \frac{mb}{a}x + \frac{m^2c}{a} = 0$$ $$ax^2 + mbx + m^2c = 0.$$

б) $\frac{m}{x_1}$ и $\frac{m}{x_2}$:

$$\frac{m}{x_1} + \frac{m}{x_2} = m \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) = m \cdot \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = m \cdot \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{mb}{c};$$ $$\frac{m}{x_1} \cdot \frac{m}{x_2} = \frac{m^2}{x_1x_2} = \frac{m^2}{\frac{c}{a}} = \frac{m^2a}{c}.$$

Уравнение имеет вид:

$$x^2 + \frac{mb}{c}x + \frac{m^2a}{c} = 0$$ $$cx^2 + mbx + am^2 = 0.$$

Рассматриваем квадратное уравнение:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Его корни — $x_1$ и $x_2$.
По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

а) Найдём уравнение, корнями которого являются $mx_1$ и $mx_2$

Шаг 1. Найдём сумму новых корней:

$$mx_1 + mx_2 = m(x_1 + x_2) = m \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{mb}{a}$$

Шаг 2. Найдём произведение новых корней:

$$mx_1 \cdot mx_2 = m^2 \cdot x_1 x_2 = m^2 \cdot \frac{c}{a} = \frac{m^2 c}{a}$$

Шаг 3. Запишем уравнение с заданными корнями:
Общий вид квадратного уравнения по сумме и произведению корней:

$$x^2 — Sx + P = 0$$

Тогда уравнение имеет вид:

$$x^2 + \frac{mb}{a}x + \frac{m^2 c}{a} = 0$$

Шаг 4. Умножим уравнение на $a$, чтобы привести его к целочисленному виду:

$$ax^2 + mbx + m^2 c = 0$$

б) Найдём уравнение, корнями которого являются $\frac{m}{x_1}$ и $\frac{m}{x_2}$

Шаг 1. Найдём сумму новых корней:

$$\frac{m}{x_1} + \frac{m}{x_2} = m \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) = m \cdot \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$$

Подставим значения по теореме Виета:

$$= m \cdot \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = m \cdot \left( -\frac{b}{c} \right) = -\frac{mb}{c}$$

Шаг 2. Найдём произведение новых корней:

$$\frac{m}{x_1} \cdot \frac{m}{x_2} = \frac{m^2}{x_1 x_2} = \frac{m^2}{\frac{c}{a}} = \frac{m^2 a}{c}$$

Шаг 3. Составим уравнение с такими корнями:

$$x^2 + \frac{mb}{c}x + \frac{m^2 a}{c} = 0$$

Шаг 4. Умножим на $c$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$cx^2 + mbx + am^2 = 0$$

Итог:

• Для корней $mx_1$ и $mx_2$:

  $$ax^2 + mbx + m^2c = 0$$

• Для корней $\frac{m}{x_1}$ и $\frac{m}{x_2}$:

  $$cx^2 + mbx + am^2 = 0$$