ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 562 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Магазин покупает на оптовом складе партию тетрадей в 500 штук по цене 4 р. за тетрадь. Увеличение партии на каждые 50 тетрадей приводят к снижению цены одной тетради на 20 к. Эта скидка сохраняется только в том случае, если общая партия не превышает 750 тетрадей. Магазин дополнительно заплатил еще 210 р. На сколько тетрадей увеличилась закупаемая партия?

Пусть закупаемая партия увеличилась на $n$ тетрадей, тогда цена одной тетради снизилась на $0.2 \cdot \frac{n}{50} = \frac{n}{250}$ руб и одна тетрадь стала стоить $4 — \frac{n}{250}$ руб.

Составим уравнение:

$$(4-\frac{n}{250})(500+n)=500\cdot 4+210$$

$$\left( 4 — \frac{n}{250} \right)(500 + n) = 500 \cdot 4 + 210$$ $$\frac{1000-n}{250}\cdot \frac{500+n}{1}=2000+210\mathrm{\mid }\cdot 250$$

$$\frac{1000 — n}{250} \cdot \frac{500 + n}{1} = 2000 + 210 \quad | \cdot 250$$ $$(1000-n)(500+n)-552500=0$$

$$(1000 — n)(500 + n) — 552500 = 0$$ $$500000+1000n-500n-n^2-552500=0$$

$$500000 + 1000n — 500n — n^2 — 552500 = 0$$ $$-n^2+500n-52500=0$$

$$-n^2 + 500n — 52500 = 0$$ $$n^2-500n+52500=0$$

$$n^2 — 500n + 52500 = 0$$ $$D=(-500{)}^2-4\cdot 1\cdot 52500=250000-210000=40000\Rightarrow \sqrt{D}=200$$

$$D = (-500)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 52500 = 250000 — 210000 = 40000 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 200$$ $$n_1=\frac{-(-500)-200}{2}=\frac{500-200}{2}=\frac{300}{2}=150\text{(тетрадей) — увеличилась закупаемая партия.}$$

$$n_1 = \frac{-(-500) — 200}{2} = \frac{500 — 200}{2} = \frac{300}{2} = 150 \quad \text{(тетрадей) — увеличилась закупаемая партия.}$$ $$n_2 = \frac{-(-500) + 200}{2} = \frac{500 + 200}{2} = \frac{700}{2} = 350 \quad \text{— не подходит, так как скидка действует до 750 тетрадей, а } 500 + 350 = 850.$$

Ответ: на $150$ тетрадей.

Условие задачи:
Изначально закупалось 500 тетрадей по цене 4 рубля за штуку.
Позже партию увеличили на $n$ тетрадей.
Цена на одну тетрадь снизилась на сумму:

$$0{,}2 \cdot \frac{n}{50} = \frac{n}{250} \ \text{(рублей)}$$

Тогда новая цена за одну тетрадь:

$$4 — \frac{n}{250} \ \text{руб.}$$

Искомое: найти $n$, если в результате изменения экономия составила 210 рублей.

Шаг 1. Выражаем новую стоимость закупки

Новая партия — $500 + n$ тетрадей
Цена одной тетради — $4 — \frac{n}{250}$ руб.

Общая стоимость новой партии:

$$(4 — \frac{n}{250})(500 + n)$$

Шаг 2. Составляем уравнение

Изначальная стоимость:

$$500 \cdot 4 = 2000 \ \text{руб.}$$

Новая стоимость меньше на 210 рублей:

$$(4 — \frac{n}{250})(500 + n) = 2000 + 210 = 2210$$

Шаг 3. Упрощаем выражение

Запишем левые множители в виде одной дроби:

$$\left(4 — \frac{n}{250} \right)(500 + n) = \frac{1000 — n}{250} \cdot (500 + n)$$

Уравнение:

$$\frac{1000 — n}{250} \cdot (500 + n) = 2210$$

Умножим обе части на 250, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(1000 — n)(500 + n) = 2210 \cdot 250 = 552500$$

Шаг 4. Раскроем скобки и упростим

Применим распределительное свойство:

$$1000 \cdot 500 + 1000 \cdot n — n \cdot 500 — n \cdot n = 500000 + 1000n — 500n — n^2$$ $$= 500000 + 500n — n^2$$

Подставим в уравнение:

$$500000 + 500n — n^2 = 552500$$

Переносим всё в одну сторону:

$$500000 + 500n — n^2 — 552500 = 0 \Rightarrow -n^2 + 500n — 52500 = 0$$

Умножим обе части на -1:

$$n^2 — 500n + 52500 = 0$$

Шаг 5. Решим квадратное уравнение

Коэффициенты:
$a = 1$, $b = -500$, $c = 52500$

Находим дискриминант:

$$D = (-500)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 52500 = 250000 — 210000 = 40000$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{40000} = 200$$

Найдём корни:

$$n_1=\frac{-(-500)-200}{2}=\frac{500-200}{2}=\frac{300}{2}=150$$

$$n_1 = \frac{-(-500) — 200}{2} = \frac{500 — 200}{2} = \frac{300}{2} = 150$$ $$n_2 = \frac{-(-500) + 200}{2} = \frac{500 + 200}{2} = \frac{700}{2} = 350$$

Шаг 6. Проверка на адекватность

Первый корень:

$$n = 150 \Rightarrow \text{партия: } 500 + 150 = 650 \text{ тетрадей} \Rightarrow \text{в пределах скидки — подходит}$$

Второй корень:

$$n = 350 \Rightarrow \text{партия: } 500 + 350 = 850 \text{ тетрадей} \Rightarrow \text{больше 750 — не подходит}$$

Ответ: на $\boxed{150}$ тетрадей увеличилась закупаемая партия.