ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 560 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В Третьяковской галерее висит картина художника Богданова-Бельского «Устный счет». На классной доске записано выражение (?10?^2+?11?^2+?12?^2+?13?^2+?14?^2)/365. В числителе — сумма квадратов пяти последовательных чисел. Ученики могут найти значение этого выражения устно, если они заметят, что сумма квадратов первых трех из них равна сумме квадратов последних двух. Существуют ли еще пять последовательных целых чисел, которые обладают таким же свойством?
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

$$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365} = \frac{100 + 121 + 144 + 169 + 196}{365} =$$ $$= \frac{365 + 365}{365} = \frac{365^2}{365} = 365.$$

Пусть даны числа: $n — 1$; $n$; $n + 1$; $n + 2$; $n + 3$.

Составим уравнение:

$$(n-1{)}^2+n^2+(n+1{)}^2=(n+2{)}^2+(n+3{)}^2$$

$$(n — 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 = (n + 2)^2 + (n + 3)^2$$ $$n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=n^2+4n+4+n^2+6n+9$$

$$n^2 — 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9$$ $$3n^2+2=2n^2+10n+13$$

$$3n^2 + 2 = 2n^2 + 10n + 13$$ $$3n^2-2n^2-10n+2-13=0$$

$$3n^2 — 2n^2 — 10n + 2 — 13 = 0$$ $$n^2-10n-11=0$$

$$n^2 — 10n — 11 = 0$$ $$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot (-11)=100+44=144\Rightarrow \sqrt{D}=12$$

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 12$$ $$n_1=\frac{-(-10)-12}{2}=\frac{10-12}{2}=\frac{-2}{2}=-1\text{— второе число;}$$

$$n_1 = \frac{-(-10) — 12}{2} = \frac{10 — 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \quad \text{— второе число;}$$ $$n_2 = \frac{-(-10) + 12}{2} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11 \quad \text{— выше.}$$

Тогда, подходят еще числа:

$$-2; -1; 0; 1; 2.$$

Ответ: $-2; -1; 0; 1; 2$.

Часть 1. Проверка выражения:

Рассмотрим дробь:

$$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}$$

Посчитаем числитель по действиям:

• $10^2 = 100$
• $11^2 = 121$
• $12^2 = 144$
• $13^2 = 169$
• $14^2 = 196$

Сложим:

$$100 + 121 = 221, \quad 221 + 144 = 365, \quad 365 + 169 = 534, \quad 534 + 196 = 730$$

Числитель: $730$

Знаменатель: $365$

Выполним деление:

$$\frac{730}{365} = 2$$

Следовательно:

$$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365} = 2$$

Значит строка:

$$= \frac{365 + 365}{365} = \frac{365^2}{365} = 365$$

неверна (ошибка в логике и арифметике). Правильное значение — 2.

Часть 2. Решение уравнения с переменной $n$:

Дано 5 последовательных числа:

$$n — 1,\quad n,\quad n + 1,\quad n + 2,\quad n + 3$$

Составим уравнение: сумма квадратов первых трёх равна сумме квадратов двух последних:

$$(n — 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 = (n + 2)^2 + (n + 3)^2$$

Раскроем скобки:

Левая часть:

$$(n — 1)^2 = n^2 — 2n + 1,\quad n^2 = n^2,\quad (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$$

Сложим:

$$n^2 — 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 = 3n^2 + 2$$

Правая часть:

$$(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4,\quad (n + 3)^2 = n^2 + 6n + 9$$

Сложим:

$$n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9 = 2n^2 + 10n + 13$$

Составим уравнение:

$$3n^2 + 2 = 2n^2 + 10n + 13$$

Переносим все в одну часть:

$$3n^2-2n^2-10n+2-13=0$$

$$3n^2 — 2n^2 — 10n + 2 — 13 = 0$$ $$n^2 — 10n — 11 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 \Rightarrow \sqrt{D} = 12$$

Находим корни:

$$n_1=\frac{-(-10)-12}{2}=\frac{10-12}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$n_1 = \frac{-(-10) — 12}{2} = \frac{10 — 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$n_2 = \frac{-(-10) + 12}{2} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

Подставим $n = -1$:

Тогда 5 чисел:

$$-2, -1, 0, 1, 2$$

Считаем:

$$(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2=4+1+0=5$$

$$(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5$$ $$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$$

Равенство верно.

Ответ:
$-2; -1; 0; 1; 2$ — эти числа удовлетворяют условию.