ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 56 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Упростите выражение.

а) $\frac{2a}{a^2-b^2} — \frac{2}{a+b}$ ;

б) $\frac{c^2+25}{c^2-25} — \frac{c}{c+5}$ ;

в) $\frac{2}{3a+2} + \frac{8}{9a^2-4}$ ;

г) $\frac{y^2}{y^2-2y+1} — \frac{y}{y-1}$ ;

д) $\frac{a+b}{a-b} — \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$ ;

е) $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} — \frac{m-n}{m+n}$ .

Краткий ответ:

а) $\frac{2 a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{2}{a + b} = \frac{2 a}{(a - b) (a + b)} - \frac{2 (a - b)}{(a + b) (a - b)} = \frac{2 a - 2 (a - b)}{(a - b) (a + b)} = \frac{2 a - 2 a + 2 b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}}$

б) $\frac{c^{2} + 25}{c^{2} - 25} - \frac{c}{c + 5} = \frac{c^{2} + 25}{(c - 5) (c + 5)} - \frac{c (c - 5)}{(c + 5) (c - 5)} = \frac{c^{2} + 25 - c (c - 5)}{(c + 5) (c - 5)} =$

$\frac{c^{2} + 25 - c^{2} + 5 c}{(c + 5) (c - 5)} = \frac{25 + 5 c}{(c + 5) (c - 5)} = \frac{5 (5 + c)}{(c + 5) (c - 5)} = \frac{5}{c - 5}$

в) $\frac{2}{3 a + 2} + \frac{8}{9 a^{2} - 4} = \frac{2}{3 a + 2} + \frac{8}{(3 a - 2) (3 a + 2)} = \frac{2 (3 a - 2) + 8}{(3 a - 2) (3 a + 2)} =$

$\frac{6 a - 4 + 8}{(3 a - 2) (3 a + 2)} = \frac{6 a + 4}{(3 a - 2) (3 a + 2)} = \frac{2 (3 a + 2)}{(3 a - 2) (3 a + 2)} = \frac{2}{3 a - 2}$

г) $\frac{y^{2}}{y^{2} - 2 y + 1} - \frac{y}{y - 1} = \frac{y^{2}}{(y - 1)^{2}} - \frac{y}{y - 1} = \frac{y^{2} - y (y - 1)}{(y - 1)^{2}} = \frac{y^{2} - y^{2} + y}{(y - 1)^{2}} = \frac{y}{(y - 1)^{2}}$

д) $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a + b}{a - b} - \frac{a^{2} + b^{2}}{(a - b) (a + b)} = \frac{(a + b)^{2} - a^{2} - b^{2}}{(a - b) (a + b)} = \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}}$

е) $\frac{m^{2} + n^{2}}{m^{2} - n^{2}} - \frac{m - n}{m + n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} = \frac{m^{2} + n^{2} - (m - n)^{2}}{(m - n) (m + n)} = \frac{m^{2} + n^{2} - m^{2} + 2 m n - n^{2}}{m^{2} - n^{2}} = \frac{2 m n}{m^{2} - n^{2}}$

Подробный ответ:

а)

$\frac{2 a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{2}{a + b}$

Шаг 1. Запишем знаменатель первой дроби как произведение разности квадратов:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Шаг 2. Приведём вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{2}{a + b} = \frac{2 (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Шаг 3. Теперь обе дроби имеют знаменатель $(a - b) (a + b)$ , можно выполнить вычитание:

$\frac{2 a}{(a - b) (a + b)} - \frac{2 (a - b)}{(a - b) (a + b)} = \frac{2 a - 2 (a - b)}{(a - b) (a + b)}$

Шаг 4. Раскроем скобки в числителе:

$2 a - 2 a + 2 b = 2 b$

Шаг 5. Запишем итоговое выражение:

$\frac{2 b}{a^{2} - b^{2}}$

б)

$\frac{c^{2} + 25}{c^{2} - 25} - \frac{c}{c + 5}$

Шаг 1. Разложим знаменатель первой дроби:

$c^{2} - 25 = (c - 5) (c + 5)$

Шаг 2. Приведём вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{c}{c + 5} = \frac{c (c - 5)}{(c + 5) (c - 5)}$

Шаг 3. Выполним вычитание:

$\frac{c^{2} + 25}{(c - 5) (c + 5)} - \frac{c (c - 5)}{(c + 5) (c - 5)} = \frac{c^{2} + 25 - c (c - 5)}{(c + 5) (c - 5)}$

Шаг 4. Раскроем скобки в числителе:

$c^{2} + 25 - c^{2} + 5 c = 25 + 5 c$

Шаг 5. Вынесем общий множитель:

$5 (5 + c)$

Шаг 6. Итог:

$\frac{5 (5 + c)}{(c + 5) (c - 5)} = \frac{5}{c - 5}$

в)

$\frac{2}{3 a + 2} + \frac{8}{9 a^{2} - 4}$

Шаг 1. Разложим знаменатель второй дроби:

$9 a^{2} - 4 = (3 a - 2) (3 a + 2)$

Шаг 2. Приведём первую дробь к общему знаменателю:

$\frac{2}{3 a + 2} = \frac{2 (3 a - 2)}{(3 a - 2) (3 a + 2)}$

Шаг 3. Сложим дроби:

$\frac{2 (3 a - 2) + 8}{(3 a - 2) (3 a + 2)} = \frac{6 a - 4 + 8}{(3 a - 2) (3 a + 2)} = \frac{6 a + 4}{(3 a - 2) (3 a + 2)}$

Шаг 4. Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2 (3 a + 2)}{(3 a - 2) (3 a + 2)}$

Шаг 5. Сократим $3 a + 2$ :

$\frac{2}{3 a - 2}$

г)

$\frac{y^{2}}{y^{2} - 2 y + 1} - \frac{y}{y - 1}$

Шаг 1. Разложим знаменатель первой дроби:

$y^{2} - 2 y + 1 = (y - 1)^{2}$

Шаг 2. Общий знаменатель — $(y - 1)^{2}$ .

Шаг 3. Приведём вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{y}{y - 1} = \frac{y (y - 1)}{(y - 1)^{2}}$

Шаг 4. Выполним вычитание:

$\frac{y^{2} - y (y - 1)}{(y - 1)^{2}} = \frac{y^{2} - y^{2} + y}{(y - 1)^{2}} = \frac{y}{(y - 1)^{2}}$

д)

$\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Шаг 1. Разложим знаменатель второй дроби:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Шаг 2. Приведём дроби к общему знаменателю:

$\frac{a + b}{a - b} = \frac{(a + b)^{2}}{(a - b) (a + b)}$

Шаг 3. Выполним вычитание:

$\frac{(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2})}{(a - b) (a + b)} = \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}}$

е)

$\frac{m^{2} + n^{2}}{m^{2} - n^{2}} - \frac{m - n}{m + n}$

Шаг 1. Разложим знаменатель первой дроби:

$m^{2} - n^{2} = (m - n) (m + n)$

Шаг 2. Приведём вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{m - n}{m + n} = \frac{(m - n)^{2}}{(m - n) (m + n)}$

Шаг 3. Выполним вычитание:

$\frac{m^{2} + n^{2} - (m - n)^{2}}{(m - n) (m + n)}$

Шаг 4. Раскроем скобки в числителе:

$(m - n)^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2}$

Шаг 5. Вычтем:

$m^{2} + n^{2} - (m^{2} - 2 m n + n^{2}) = m^{2} + n^{2} - m^{2} + 2 m n - n^{2} = 2 m n$

Шаг 6. Итог:

$\frac{2 m n}{m^{2} - n^{2}}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

1