ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 557 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) x^2+1-(x^2+3)/3=(x^2+2)/2-(x^2+4)/4;
б) (x-2)^2/12-(x-1)^2/3=(x-3)^2/9-(x-2)^2/4.

а) $x^2 + 1 — \frac{x^2 + 3}{3} = \frac{x^2 + 2}{2} — \frac{x^2 + 4}{4}$

Умножим обе части на 12:

$$12(x^2 + 1) — 4(x^2 + 3) = 6(x^2 + 2) — 3(x^2 + 4)$$

Раскроем скобки:

$$12x^2 + 12 — 4x^2 — 12 = 6x^2 + 12 — 3x^2 — 12$$

Упростим:

$$8x^2=3x^2$$

$$8x^2 = 3x^2$$ $$5x^2=0$$

$$5x^2 = 0$$ $$x = 0$$

Ответ: $x = 0$.

б) $\frac{(x-2)^2}{12} — \frac{(x-1)^2}{3} = \frac{(x-3)^2}{9} — \frac{(x-2)^2}{4}$

Умножим обе части на 36:

$$3(x-2)^2 — 12(x-1)^2 = 4(x-3)^2 — 9(x-2)^2$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$3(x-2)^2 + 9(x-2)^2 — 12(x-1)^2 — 4(x-3)^2 = 0$$

Объединяем подобные слагаемые:

$$12(x-2)^2 — 12(x-1)^2 — 4(x-3)^2 = 0$$

Раскрываем скобки:

$$12(x^2 — 4x + 4) — 12(x^2 — 2x + 1) — 4(x^2 — 6x + 9) = 0$$

Раскрываем скобки:

$$12x^2 — 48x + 48 — 12x^2 + 24x — 12 — 4x^2 + 24x — 36 = 0$$

Упростим:

$$-4x^2 = 0$$ $$x = 0$$

Ответ: $x = 0$.

а) $x^2 + 1 — \frac{x^2 + 3}{3} = \frac{x^2 + 2}{2} — \frac{x^2 + 4}{4}$

Шаг 1: Умножение обеих частей на 12
Для удобства избавимся от дробей, умножив обе части на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 2 и 4):

$$12 \left( x^2 + 1 \right) — 12 \cdot \frac{x^2 + 3}{3} = 12 \cdot \frac{x^2 + 2}{2} — 12 \cdot \frac{x^2 + 4}{4}$$

Выполняем умножение:

$$12(x^2 + 1) — 4(x^2 + 3) = 6(x^2 + 2) — 3(x^2 + 4)$$

Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскрываем все скобки:

$$12x^2 + 12 — 4x^2 — 12 = 6x^2 + 12 — 3x^2 — 12$$

Шаг 3: Упрощение уравнения
Теперь упрощаем уравнение, с учетом того, что одинаковые члены можно вычесть:

$$(12x^2-4x^2)+(12-12)=(6x^2-3x^2)+(12-12)$$

$$(12x^2 — 4x^2) + (12 — 12) = (6x^2 — 3x^2) + (12 — 12)$$ $$8x^2 = 3x^2$$

Шаг 4: Решение уравнения
Теперь решаем уравнение:

$$8x^2-3x^2=0$$

$$8x^2 — 3x^2 = 0$$ $$5x^2=0$$

$$5x^2 = 0$$ $$x^2=0$$

$$x^2 = 0$$ $$x = 0$$

Ответ: $x = 0$

б) $\frac{(x-2)^2}{12} — \frac{(x-1)^2}{3} = \frac{(x-3)^2}{9} — \frac{(x-2)^2}{4}$

Шаг 1: Умножение обеих частей на 36
Для избавления от дробей, умножаем обе части на 36 (наименьшее общее кратное знаменателей 12, 3, 9 и 4):

$$36 \cdot \frac{(x-2)^2}{12} — 36 \cdot \frac{(x-1)^2}{3} = 36 \cdot \frac{(x-3)^2}{9} — 36 \cdot \frac{(x-2)^2}{4}$$

Выполняем умножение:

$$3(x-2)^2 — 12(x-1)^2 = 4(x-3)^2 — 9(x-2)^2$$

Шаг 2: Перенос всех слагаемых в одну сторону
Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$3(x-2)^2 + 9(x-2)^2 — 12(x-1)^2 — 4(x-3)^2 = 0$$

Шаг 3: Объединение подобных слагаемых
Объединяем подобные слагаемые:

$$12(x-2)^2 — 12(x-1)^2 — 4(x-3)^2 = 0$$

Шаг 4: Раскрытие скобок
Теперь раскроем все скобки:

$$12(x^2 — 4x + 4) — 12(x^2 — 2x + 1) — 4(x^2 — 6x + 9) = 0$$

Шаг 5: Упрощение уравнения
Раскрываем скобки:

$$12x^2 — 48x + 48 — 12x^2 + 24x — 12 — 4x^2 + 24x — 36 = 0$$

Шаг 6: Упрощение и решение уравнения
Теперь упрощаем:

$$(12x^2-12x^2-4x^2)+(-48x+24x+24x)+(48-12-36)=0$$

$$(12x^2 — 12x^2 — 4x^2) + (-48x + 24x + 24x) + (48 — 12 — 36) = 0$$ $$-4x^2+0x+0=0$$

$$-4x^2 + 0x + 0 = 0$$ $$-4x^2=0$$

$$-4x^2 = 0$$ $$x^2=0$$

$$x^2 = 0$$ $$x = 0$$

Ответ: $x = 0$

г) $2x + 3\sqrt{x} — 2 = 0$

Шаг 1: Замена переменной
Для удобства делаем замену $\sqrt{x} = y$, уравнение примет вид:

$$2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Извлекаем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Подстановка назад
Подставляем $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sqrt{x} = y$:

$$\sqrt{x} = -2 \quad \text{— корней нет (так как \( \sqrt{x} \) не может быть отрицательным)}.$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$