ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 556 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) x-6vx+5=0;
б) 3x-10vx+3=0;
в) 5x-6vx+1=0;
г) 2x+3vx-2=0.

а) $x — 6\sqrt{x} + 5 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$$y^2-6y+5=0$$

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$ $$D=9-5=4$$

$$D = 9 — 5 = 4$$ $$y_1{y}_2=5,y_1+y_2=6$$

$$y_1 y_2 = 5, \quad y_1 + y_2 = 6$$ $$y_1 = 5, \quad y_2 = 1$$

Подставим:

$$\sqrt{x}=5,\sqrt{x}=1$$

$$\sqrt{x} = 5, \quad \sqrt{x} = 1$$ $$x = 25, \quad x = 1$$

Ответ: $x = 1$; $x = 25$.

б) $3x — 10\sqrt{x} + 3 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$$3y^2-10y+3=0$$

$$3y^2 — 10y + 3 = 0$$ $$D=25-3\cdot 3=16=\sqrt{16}=4$$

$$D = 25 — 3 \cdot 3 = 16 = \sqrt{16} = 4$$ $$y_1 = \frac{5 — 4}{3} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Подставим:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{3},\sqrt{x}=3$$

$$\sqrt{x} = \frac{1}{3}, \quad \sqrt{x} = 3$$ $$x = \frac{1}{9}, \quad x = 9$$

Ответ: $x = \frac{1}{9}$; $x = 9$.

в) $5x — 6\sqrt{x} + 1 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$$5y^2-6y+1=0$$

$$5y^2 — 6y + 1 = 0$$ $$D=9-5=4=\sqrt{4}=2$$

$$D = 9 — 5 = 4 = \sqrt{4} = 2$$ $$y_1 = \frac{3 — 2}{5} = \frac{1}{5}, \quad y_2 = \frac{3 + 2}{5} = \frac{5}{5} = 1$$

Подставим:

$$\sqrt{x} = \frac{1}{5}, \quad \sqrt{x} = 1$$ $$x = \frac{1}{25}, \quad x = 1$$

Ответ: $x = \frac{1}{25}$; $x = 1$.

г) $2x + 3\sqrt{x} — 2 = 0$

Замена: $\sqrt{x} = y$;

$$2y^2+3y-2=0$$

$$2y^2 + 3y — 2 = 0$$ $$D=9+4\cdot 2\cdot 2=25=\sqrt{25}=5$$

$$D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 = \sqrt{25} = 5$$ $$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Подставим:

$$\sqrt{x} = -2 \quad \text{— корней нет};$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{1}{4}$$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

а) $x — 6\sqrt{x} + 5 = 0$

Шаг 1: Замена переменной
Мы видим, что у нас есть выражение с квадратным корнем. Для упрощения введем замену:

$$\sqrt{x} = y$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y_1=\frac{-(-6)-\sqrt{D}}{2\cdot 1}=\frac{6-4}{2}=1$$

$$y_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 3: Подстановка назад
Теперь, когда мы нашли $y_1$ и $y_2$, подставляем их обратно в $\sqrt{x} = y$:

$$\sqrt{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1^2 = 1$$ $$\sqrt{x} = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 5^2 = 25$$

Ответ:

$$x = 1, \quad x = 25$$

б) $3x — 10\sqrt{x} + 3 = 0$

Шаг 1: Замена переменной
Опять-таки, для удобства сделаем замену $\sqrt{x} = y$. Уравнение примет вид:

$$3y^2 — 10y + 3 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-10)-\sqrt{D}}{2\cdot 3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

$$y_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

Шаг 3: Подстановка назад
Подставляем $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sqrt{x} = y$:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow x={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$$

$$\sqrt{x} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$$ $$\sqrt{x} = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 3^2 = 9$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{9}, \quad x = 9$$

в) $5x — 6\sqrt{x} + 1 = 0$

Шаг 1: Замена переменной
Делаем замену $\sqrt{x} = y$, тогда уравнение преобразуется в:

$$5y^2 — 6y + 1 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 — 20 = 16$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-6)-\sqrt{D}}{2\cdot 5}=\frac{6-4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$

$$y_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{D}}{2 \cdot 5} = \frac{6 — 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ $$y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{D}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Шаг 3: Подстановка назад
Теперь подставляем $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sqrt{x} = y$:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{5}\Rightarrow x={\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{25}$$

$$\sqrt{x} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad x = \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25}$$ $$\sqrt{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1^2 = 1$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{25}, \quad x = 1$$

г) $2x + 3\sqrt{x} — 2 = 0$

Шаг 1: Замена переменной
Делаем замену $\sqrt{x} = y$, уравнение принимает вид:

$$2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Вычисляем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Извлекаем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-3-5}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2$$

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Подстановка назад
Подставляем $y_1$ и $y_2$ обратно в $\sqrt{x} = y$:

$$\sqrt{x} = -2 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет (так как \( \sqrt{x} \) не может быть отрицательным)}.$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{4}$$