ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 555 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) x^4-6x^2+8=0;
б) x^4+8x^2-9=0;
в) 9x^4-82x^2+9=0;
г) 4x^4+9x^2+2=0.

а) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$

Замена: $x^2 = y$;

$$y^2-6y+8=0$$

$$y^2 — 6y + 8 = 0$$ $$D=9-8=1$$

$$D = 9 — 8 = 1$$ $$y_1 = 3 — 1 = 2, \quad y_2 = 3 + 1 = 4$$

Подставим:

$$x^2=2,x^2=4$$

$$x^2 = 2, \quad x^2 = 4$$ $$x = \pm \sqrt{2}, \quad x = \pm 2$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}$; $x = \pm 2$.

б) $x^4 + 8x^2 — 9 = 0$

Замена: $x^2 = y$;

$$y^2+8y-9=0$$

$$y^2 + 8y — 9 = 0$$ $$D=16+9=25=\sqrt{25}=5$$

$$D = 16 + 9 = 25 = \sqrt{25} = 5$$ $$y_1 = -4 — 5 = -9, \quad y_2 = -4 + 5 = 1$$

Подставим:

$$x^2 = -9 \quad \text{— корней нет};$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Ответ: $x = \pm 1$.

в) $9x^4 — 82x^2 + 9 = 0$

Замена: $x^2 = y$;

$$9y^2-82y+9=0$$

$$9y^2 — 82y + 9 = 0$$ $$D=6724-4\cdot 9\cdot 9=6400=\sqrt{6400}=80$$

$$D = 6724 — 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6400 = \sqrt{6400} = 80$$ $$y_1 = \frac{82 — 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}, \quad y_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$$

Подставим:

$$x^2 = \frac{1}{9}, \quad x^2 = 9$$ $$x = \pm \frac{1}{3}, \quad x = \pm 3$$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3}$; $x = \pm 3$.

г) $4x^4 + 9x^2 + 2 = 0$

Замена: $x^2 = y$;

$$4y^2+9y+2=0$$

$$4y^2 + 9y + 2 = 0$$ $$D=81-4\cdot 4\cdot 2=49=\sqrt{49}=7$$

$$D = 81 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 = \sqrt{49} = 7$$ $$y_1 = \frac{-9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2, \quad y_2 = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$

Подставим:

$$x^2 = -2 \quad \text{— корней нет};$$ $$x^2 = -\frac{1}{4} \quad \text{— корней нет}.$$

Ответ: корней нет.

а) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$

Начнем с замены $x^2 = y$, чтобы упростить уравнение:

$$y^2 — 6y + 8 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-6) — 2}{2} = \frac{6 — 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-(-6) + 2}{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Подставим обратно $y = x^2$:

$$x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}$$ $$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}$; $x = \pm 2$.

б) $x^4 + 8x^2 — 9 = 0$

Выполним замену $x^2 = y$, чтобы упростить уравнение:

$$y^2 + 8y — 9 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-8 — 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ $$y_2 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Подставим обратно $y = x^2$:

$$x^2 = -9 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет (так как \( x^2 \) не может быть отрицательным)}.$$ $$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Ответ: $x = \pm 1$.

в) $9x^4 — 82x^2 + 9 = 0$

Выполним замену $x^2 = y$, чтобы упростить уравнение:

$$9y^2 — 82y + 9 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = (-82)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 — 324 = 6400$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{82 — 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$ $$y_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$$

Подставим обратно $y = x^2$:

$$x^2 = \frac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{3}$$ $$x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3$$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3}$; $x = \pm 3$.

г) $4x^4 + 9x^2 + 2 = 0$

Выполним замену $x^2 = y$, чтобы упростить уравнение:

$$4y^2 + 9y + 2 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-9 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$$ $$y_2 = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$

Подставим обратно $y = x^2$:

$$x^2 = -2 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет (так как \( x^2 \) не может быть отрицательным)}.$$ $$x^2 = -\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет (так как \( x^2 \) не может быть отрицательным)}.$$

Ответ: корней нет.