ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 554 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) (x+1)^2-2(x+1)+1=0;
б) (x-2)^2-4(x-2)-5=0;
в) (1-x)^2+6(1-x)+8=0;
г) (3-x)^2+(3-x)-6=0.

а) $(x + 1)^2 — 2(x + 1) + 1 = 0$

Замена: $x + 1 = y$;

$$y^2 — 2y + 1 = 0$$ $$(y — 1)^2 = 0$$ $$y — 1 = 0$$ $$y = 1.$$

Подставим:

$$x + 1 = 1$$ $$x = 0.$$

Ответ: $x = 0$.

б) $(x — 2)^2 — 4(x — 2) — 5 = 0$

Замена: $x — 2 = y$;

$$y^2 — 4y — 5 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 4 + 5 = 9 = \sqrt{9} = 3.$$

Корни:

$$y_1 = 2 — 3 = -1, \quad y_2 = 2 + 3 = 5.$$

Подставим:

$$x — 2 = -1, \quad x — 2 = 5$$ $$x = 1, \quad x = 7.$$

Ответ: $x = 1$; $x = 7$.

в) $(1 — x)^2 + 6(1 — x) + 8 = 0$

Замена: $1 — x = y$;

$$y^2 + 6y + 8 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 9 — 8 = 1.$$

Корни:

$$y_1 = -3 — 1 = -4, \quad y_2 = -3 + 1 = -2.$$

Подставим:

$$1 — x = -4, \quad 1 — x = -2$$ $$x = 5, \quad x = 3.$$

Ответ: $x = 3$; $x = 5$.

г) $(3 — x)^2 + (3 — x) — 6 = 0$

Замена: $3 — x = y$;

$$y^2 + y — 6 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 1 + 4 \cdot 6 = 25 = \sqrt{25} = 5.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

Подставим:

$$3 — x = -3, \quad 3 — x = 2$$ $$x = 6, \quad x = 1.$$

Ответ: $x = 1$; $x = 6$.

а) $(x + 1)^2 — 2(x + 1) + 1 = 0$

Выполним замену: $x + 1 = y$, подставляем в исходное уравнение:

$$y^2 — 2y + 1 = 0$$

Это квадратичное уравнение можно разложить на квадрат:

$$(y — 1)^2 = 0$$

Решение уравнения:

$$y — 1 = 0$$ $$y = 1$$

Теперь подставим обратно $y = 1$ в $x + 1 = y$:

$$x + 1 = 1$$ $$x = 0$$

Ответ: $x = 0$.

б) $(x — 2)^2 — 4(x — 2) — 5 = 0$

Выполним замену: $x — 2 = y$, подставляем в исходное уравнение:

$$y^2 — 4y — 5 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-4) — 6}{2} = \frac{4 — 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-4) + 6}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Теперь подставим $y_1 = -1$ и $y_2 = 5$ обратно в $x — 2 = y$:

$$x — 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$ $$x — 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 7$$

Ответ: $x = 1$; $x = 7$.

в) $(1 — x)^2 + 6(1 — x) + 8 = 0$

Выполним замену: $1 — x = y$, подставляем в исходное уравнение:

$$y^2 + 6y + 8 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-6 — 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$y_2 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Теперь подставим $y_1 = -4$ и $y_2 = -2$ обратно в $1 — x = y$:

$$1 — x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$ $$1 — x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Ответ: $x = 3$; $x = 5$.

г) $(3 — x)^2 + (3 — x) — 6 = 0$

Выполним замену: $3 — x = y$, подставляем в исходное уравнение:

$$y^2 + y — 6 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Извлечем корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь подставим $y_1 = -3$ и $y_2 = 2$ обратно в $3 — x = y$:

$$3 — x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$ $$3 — x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Ответ: $x = 1$; $x = 6$.