ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 553 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите степень уравнения (x-x_1 )(x-x_2 )(x-x_3 )=0.
Выведите формулы Виета для этого уравнения.

$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0;$$

$$(x — x_1)(x — x_2)(x — x_3) = 0;$$ $$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x^2-x{x}_1-x{x}_2+x_1{x}_2)(x-x_3)=$$

$$(x — x_1)(x — x_2)(x — x_3) = (x^2 — x x_1 — x x_2 + x_1 x_2)(x — x_3) =$$ $$=x^3-x^2{x}_1-x^2{x}_2+x{x}_1{x}_2-x^2{x}_3+x{x}_1{x}_3+x{x}_2{x}_3-x_1{x}_2{x}_3=$$

$$= x^3 — x^2 x_1 — x^2 x_2 + x x_1 x_2 — x^2 x_3 + x x_1 x_3 + x x_2 x_3 — x_1 x_2 x_3 =$$ $$= x^3 — (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)x — x_1 x_2 x_3.$$

Имеет уравнение:

$$x^3 — (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)x — x_1 x_2 x_3 = 0$$

Данное уравнение третьей степени имеет вид:

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0.$$

Формулы:

$$x_1+x_2+x_3=-p;$$

$$x_1 + x_2 + x_3 = -p;$$ $$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=q;$$

$$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = q;$$ $$x_1 x_2 x_3 = -r.$$

Шаг 1: Разложение выражения $(x — x_1)(x — x_2)(x — x_3)$

Мы начинаем с разложения произведения трёх скобок $(x — x_1)(x — x_2)(x — x_3)$:

$$(x — x_1)(x — x_2)(x — x_3) = 0$$

Сначала раскроем произведение первых двух скобок:

$$(x — x_1)(x — x_2) = x^2 — x(x_1 + x_2) + x_1 x_2 = x^2 — x_1 x — x_2 x + x_1 x_2$$

Теперь умножим полученный результат на $(x — x_3)$:

$$(x^2 — x_1 x — x_2 x + x_1 x_2)(x — x_3)$$

Раскроем скобки:

$$= x^3 — x^2 x_3 — x^2 x_1 — x^2 x_2 + x x_1 x_2 — x x_3 x_1 — x x_3 x_2 + x_1 x_2 x_3$$

Шаг 2: Приведение подобных членов

Теперь приведем подобные члены в результате раскрытия скобок:

$$= x^3 — (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)x — x_1 x_2 x_3$$

Таким образом, разложенное уравнение будет иметь вид:

$$x^3 — (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)x — x_1 x_2 x_3 = 0$$

Шаг 3: Уравнение третьей степени

Это уравнение третьей степени имеет стандартную форму:

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$

где:

• $p = -(x_1 + x_2 + x_3)$,
• $q = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$,
• $r = -x_1 x_2 x_3$.

Шаг 4: Формулы для коэффициентов

Из уравнения можно вывести формулы для коэффициентов $p$, $q$ и $r$, выраженные через корни уравнения $x_1$, $x_2$ и $x_3$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -p$,

$x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = q$,

$x_1 x_2 x_3 = -r$.

Шаг 5: Подтверждение связи между коэффициентами и корнями

Мы доказали, что коэффициенты уравнения третьей степени связаны с корнями следующим образом:

• Сумма корней $x_1 + x_2 + x_3$ равна $-p$,
• Сумма произведений пар корней $x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$ равна $q$,
• Произведение всех корней $x_1 x_2 x_3$ равно $-r$.

Таким образом, мы пришли к полному разложению многочлена и установили связи между его корнями и коэффициентами.