ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 552 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Разложите на множители многочлен:
а) x^4-2x^3+2x-1;
б) x^4+x^3-7x^2-13x-6;
в) 4x^3+21x^2-25;
г) 5x^3+3x^2-5x-3.

Краткий ответ:

а) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$ :

$x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1 = (x^{4} - x^{3}) - (x^{3} - x^{2}) - (x^{2} - 2 x + 1) =$

$x^4 — 2x^3 + 2x — 1 = (x^4 — x^3) — (x^3 — x^2) — (x^2 — 2x + 1) =$ $= x^{3} (x - 1) - x^{2} (x - 1) - (x - 1)^{2} = (x - 1) (x^{3} - x^{2} - x + 1) =$

$= x^3(x — 1) — x^2(x — 1) — (x — 1)^2 = (x — 1)(x^3 — x^2 — x + 1) =$ $= (x - 1) ((x^{3} - x^{2}) - (x - 1)) = (x - 1) (x^{2} (x - 1) - (x - 1)) =$

$= (x — 1)((x^3 — x^2) — (x — 1)) = (x — 1)(x^2(x — 1) — (x — 1)) =$ $= (x — 1)^2(x^2 — 1) = (x — 1)^3(x + 1).$

б) Многочлен имеет корень, равный $-1$ , выделяем $x + 1$ :

$x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 13 x - 6 = (x^{4} + x^{3}) - (7 x^{2} + 7 x) - 6 (x + 1) =$

$x^4 + x^3 — 7x^2 — 13x — 6 = (x^4 + x^3) — (7x^2 + 7x) — 6(x + 1) =$ $= x^{3} (x + 1) - 7 x (x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1) (x^{3} - 7 x - 6) =$

$= x^3(x + 1) — 7x(x + 1) — 6(x + 1) = (x + 1)(x^3 — 7x — 6) =$ $= (x + 1) ((x^{3} + x^{2}) - (x^{2} + x) - 6 (x + 1)) =$

$= (x + 1)((x^3 + x^2) — (x^2 + x) — 6(x + 1)) =$ $= (x + 1) (x^{2} (x + 1) - x (x + 1) - 6 (x + 1)) =$

$= (x + 1)(x^2(x + 1) — x(x + 1) — 6(x + 1)) =$ $= (x + 1)(x + 1)(x^2 — x — 6) = (x + 1)^2(x — 3)(x + 2).$

в) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$ :

$4 x^{3} + 21 x^{2} - 25 = (4 x^{3} - 4 x^{2}) + 25 (x^{2} - 1) =$

$4x^3 + 21x^2 — 25 = (4x^3 — 4x^2) + 25(x^2 — 1) =$ $= 4x^2(x — 1) + 25(x — 1)(x + 1) = (x — 1)(4x^2 + 25x + 25).$

Решаем квадратное уравнение $4x^2 + 25x + 25 = 0$ :

$D = 625 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 225 = \sqrt{225} = 15.$

$D = 625 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 225 = \sqrt{225} = 15.$ $x_1 = \frac{-25 — 15}{4 \cdot 2} = \frac{-40}{8} = -5, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}.$

Тогда:

$4x^3 + 21x^2 — 25 = (x — 1)(4x + 5)(x + 5).$

г) $5x^3 + 3x^2 — 5x — 3 = x^2(5x + 3) — (5x + 3) = (5x + 3)(x^2 — 1) = (5x + 3)(x — 1)(x + 1)$ .

Ответ: $\boxed{(x — 1)^3(x + 1)}$ .

Подробный ответ:

а) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$ :

Начнем с того, что разложим многочлен $x^4 — 2x^3 + 2x — 1$ на более простые выражения, сгруппировав члены:

$x^4 — 2x^3 + 2x — 1 = (x^4 — x^3) — (x^3 — x^2) — (x^2 — 2x + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x — 1)$ из каждой из групп:

$= x^3(x — 1) — x^2(x — 1) — (x — 1)^2$

Теперь видим, что $(x — 1)$ можно вынести как общий множитель:

$= (x — 1)(x^3 — x^2 — x + 1)$

Далее группируем члены в выражении $x^3 — x^2 — x + 1$ :

$= (x — 1)((x^3 — x^2) — (x — 1))$

Вынесем $(x — 1)$ из второго выражения:

$= (x — 1)(x^2(x — 1) — (x — 1))$

Мы видим, что снова можно вынести $(x — 1)$ :

$= (x — 1)^2(x^2 — 1)$

Теперь используем формулу разности квадратов:

$= (x — 1)^2(x — 1)(x + 1)$

В конечном итоге получаем:

$= (x — 1)^3(x + 1)$

б) Многочлен имеет корень, равный $-1$ , выделяем $x + 1$ :

Начнем с разложения многочлена $x^4 + x^3 — 7x^2 — 13x — 6$ :

$x^4 + x^3 — 7x^2 — 13x — 6 = (x^4 + x^3) — (7x^2 + 7x) — 6(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ из групп:

$= x^3(x + 1) — 7x(x + 1) — 6(x + 1)$

Теперь выделим $(x + 1)$ как общий множитель:

$= (x + 1)(x^3 — 7x — 6)$

Разложим кубическое выражение $x^3 — 7x — 6$ :

$= (x + 1)((x^3 + x^2) — (x^2 + x) — 6(x + 1))$

Далее группируем и выносим $(x + 1)$ :

$= (x + 1)(x^2(x + 1) — x(x + 1) — 6(x + 1))$

Снова выделяем $(x + 1)$ :

$= (x + 1)(x + 1)(x^2 — x — 6)$

Разлагаем $x^2 — x — 6$ на множители:

$= (x + 1)^2(x — 3)(x + 2)$

в) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$ :

Начнем с разложения многочлена $4x^3 + 21x^2 — 25$ :

$4x^3 + 21x^2 — 25 = (4x^3 — 4x^2) + 25(x^2 — 1)$

Вынесем общий множитель $(x — 1)$ :

$= 4x^2(x — 1) + 25(x — 1)(x + 1)$

Теперь выделим общий множитель $(x — 1)$ :

$= (x — 1)(4x^2 + 25x + 25)$

Решаем квадратное уравнение $4x^2 + 25x + 25 = 0$ :

Вычислим дискриминант:

$D = 625 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 225 = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-25 — 15}{4 \cdot 2} = \frac{-40}{8} = -5, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Таким образом, уравнение $4x^3 + 21x^2 — 25$ имеет корни:

$(x — 1)(4x + 5)(x + 5)$

г) Разложим $5x^3 + 3x^2 — 5x — 3$ :

Группируем и выделяем множители:

$5x^3 + 3x^2 — 5x — 3 = x^2(5x + 3) — (5x + 3)$

Вынесем общий множитель:

$= (5x + 3)(x^2 — 1)$

Используем формулу разности квадратов:

$= (5x + 3)(x — 1)(x + 1)$

Ответ: $\boxed{(x — 1)^3(x + 1)}$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра