ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 552 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) x^4-2x^3+2x-1;
б) x^4+x^3-7x^2-13x-6;
в) 4x^3+21x^2-25;
г) 5x^3+3x^2-5x-3.

а) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$:

$$x^4-2x^3+2x-1=(x^4-x^3)-(x^3-x^2)-(x^2-2x+1)=$$

$$x^4 — 2x^3 + 2x — 1 = (x^4 — x^3) — (x^3 — x^2) — (x^2 — 2x + 1) =$$ $$=x^3(x-1)-x^2(x-1)-(x-1{)}^2=(x-1)(x^3-x^2-x+1)=$$

$$= x^3(x — 1) — x^2(x — 1) — (x — 1)^2 = (x — 1)(x^3 — x^2 — x + 1) =$$ $$=(x-1)((x^3-x^2)-(x-1))=(x-1)(x^2(x-1)-(x-1))=$$

$$= (x — 1)((x^3 — x^2) — (x — 1)) = (x — 1)(x^2(x — 1) — (x — 1)) =$$ $$= (x — 1)^2(x^2 — 1) = (x — 1)^3(x + 1).$$

б) Многочлен имеет корень, равный $-1$, выделяем $x + 1$:

$$x^4+x^3-7x^2-13x-6=(x^4+x^3)-(7x^2+7x)-6(x+1)=$$

$$x^4 + x^3 — 7x^2 — 13x — 6 = (x^4 + x^3) — (7x^2 + 7x) — 6(x + 1) =$$ $$=x^3(x+1)-7x(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x^3-7x-6)=$$

$$= x^3(x + 1) — 7x(x + 1) — 6(x + 1) = (x + 1)(x^3 — 7x — 6) =$$ $$=(x+1)((x^3+x^2)-(x^2+x)-6(x+1))=$$

$$= (x + 1)((x^3 + x^2) — (x^2 + x) — 6(x + 1)) =$$ $$=(x+1)(x^2(x+1)-x(x+1)-6(x+1))=$$

$$= (x + 1)(x^2(x + 1) — x(x + 1) — 6(x + 1)) =$$ $$= (x + 1)(x + 1)(x^2 — x — 6) = (x + 1)^2(x — 3)(x + 2).$$

в) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$:

$$4x^3+21x^2-25=(4x^3-4x^2)+25(x^2-1)=$$

$$4x^3 + 21x^2 — 25 = (4x^3 — 4x^2) + 25(x^2 — 1) =$$ $$= 4x^2(x — 1) + 25(x — 1)(x + 1) = (x — 1)(4x^2 + 25x + 25).$$

Решаем квадратное уравнение $4x^2 + 25x + 25 = 0$:

$$D=625-4\cdot 4\cdot 25=225=\sqrt{225}=15.$$

$$D = 625 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 225 = \sqrt{225} = 15.$$ $$x_1 = \frac{-25 — 15}{4 \cdot 2} = \frac{-40}{8} = -5, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}.$$

Тогда:

$$4x^3 + 21x^2 — 25 = (x — 1)(4x + 5)(x + 5).$$

г) $5x^3 + 3x^2 — 5x — 3 = x^2(5x + 3) — (5x + 3) = (5x + 3)(x^2 — 1) = (5x + 3)(x — 1)(x + 1)$.

Ответ: $\boxed{(x — 1)^3(x + 1)}$.

а) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$:

Начнем с того, что разложим многочлен $x^4 — 2x^3 + 2x — 1$ на более простые выражения, сгруппировав члены:

$$x^4 — 2x^3 + 2x — 1 = (x^4 — x^3) — (x^3 — x^2) — (x^2 — 2x + 1)$$

Теперь вынесем общий множитель $(x — 1)$ из каждой из групп:

$$= x^3(x — 1) — x^2(x — 1) — (x — 1)^2$$

Теперь видим, что $(x — 1)$ можно вынести как общий множитель:

$$= (x — 1)(x^3 — x^2 — x + 1)$$

Далее группируем члены в выражении $x^3 — x^2 — x + 1$:

$$= (x — 1)((x^3 — x^2) — (x — 1))$$

Вынесем $(x — 1)$ из второго выражения:

$$= (x — 1)(x^2(x — 1) — (x — 1))$$

Мы видим, что снова можно вынести $(x — 1)$:

$$= (x — 1)^2(x^2 — 1)$$

Теперь используем формулу разности квадратов:

$$= (x — 1)^2(x — 1)(x + 1)$$

В конечном итоге получаем:

$$= (x — 1)^3(x + 1)$$

б) Многочлен имеет корень, равный $-1$, выделяем $x + 1$:

Начнем с разложения многочлена $x^4 + x^3 — 7x^2 — 13x — 6$:

$$x^4 + x^3 — 7x^2 — 13x — 6 = (x^4 + x^3) — (7x^2 + 7x) — 6(x + 1)$$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ из групп:

$$= x^3(x + 1) — 7x(x + 1) — 6(x + 1)$$

Теперь выделим $(x + 1)$ как общий множитель:

$$= (x + 1)(x^3 — 7x — 6)$$

Разложим кубическое выражение $x^3 — 7x — 6$:

$$= (x + 1)((x^3 + x^2) — (x^2 + x) — 6(x + 1))$$

Далее группируем и выносим $(x + 1)$:

$$= (x + 1)(x^2(x + 1) — x(x + 1) — 6(x + 1))$$

Снова выделяем $(x + 1)$:

$$= (x + 1)(x + 1)(x^2 — x — 6)$$

Разлагаем $x^2 — x — 6$ на множители:

$$= (x + 1)^2(x — 3)(x + 2)$$

в) Многочлен имеет корень, равный 1, выделяем $x — 1$:

Начнем с разложения многочлена $4x^3 + 21x^2 — 25$:

$$4x^3 + 21x^2 — 25 = (4x^3 — 4x^2) + 25(x^2 — 1)$$

Вынесем общий множитель $(x — 1)$:

$$= 4x^2(x — 1) + 25(x — 1)(x + 1)$$

Теперь выделим общий множитель $(x — 1)$:

$$= (x — 1)(4x^2 + 25x + 25)$$

Решаем квадратное уравнение $4x^2 + 25x + 25 = 0$:

Вычислим дискриминант:

$$D = 625 — 4 \cdot 4 \cdot 25 = 225 = \sqrt{225} = 15$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-25 — 15}{4 \cdot 2} = \frac{-40}{8} = -5, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$$

Таким образом, уравнение $4x^3 + 21x^2 — 25$ имеет корни:

$$(x — 1)(4x + 5)(x + 5)$$

г) Разложим $5x^3 + 3x^2 — 5x — 3$:

Группируем и выделяем множители:

$$5x^3 + 3x^2 — 5x — 3 = x^2(5x + 3) — (5x + 3)$$

Вынесем общий множитель:

$$= (5x + 3)(x^2 — 1)$$

Используем формулу разности квадратов:

$$= (5x + 3)(x — 1)(x + 1)$$

Ответ: $\boxed{(x — 1)^3(x + 1)}$.