ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 551 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) x^4+2x^3-x-2=0;
б) x^3-12x^2+9x+22=0;
в) 2x^3-7x^2+9=0;
г) 5x^3-54x^2+39x+10=0.

a) $x^4 + 2x^3 — x — 2 = 0$

$x^3(x + 2) — (x + 2) = 0$

$(x + 2)(x^3 — 1) = 0$

$(x + 2)(x — 1)(x^2 + x + 1) = 0$

$x + 2 = 0, \quad x — 1 = 0, \quad x^2 + x + 1 = 0$

$x = -2, \quad x = 1, \quad \text{корней нет}$.

Ответ: $x = 1$; $x = -2$.

б) $x^3 — 12x^2 + 9x + 22 = 0$

Уравнение имеет корень $x = -1$, выделяем $x + 1$:

$x^3 — 12x^2 + 9x + 22 = (x^3 + x^2) — 13x^2 + 9x + 22 =$

$= x^2(x + 1) — 13x(x + 1) + 22(x + 1) = (x + 1)(x^2 — 13x + 22) =$

$= (x + 1)(x — 11)(x — 2)$.

Тогда:

$(x + 1)(x — 11)(x — 2) = 0$

$x = -1, \quad x = 11, \quad x = 2$.

Ответ: $x = -1$; $x = 2$; $x = 11$.

в) $2x^3 — 7x^2 + 9 = 0$

Уравнение имеет корень $x = -1$, выделяем $x + 1$:

$2x^3 — 7x^2 + 9 = 2x^3 + 2x^2 — 9x^2 + 9 = 2x^2(x + 1) — 9(x^2 — 1) =$

$= (x + 1)(2x^2 — 9x + 9)$.

$2x^2 — 9x + 9 = 0$

$D = 81 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 = \sqrt{9} = 3$.

$x_1 = \frac{9 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Тогда, уравнение $2x^3 — 7x^2 + 9 = 0$ имеет корни: $-1$; $\frac{3}{2}$; $3$.

Ответ: $x = -1$; $x = \frac{3}{2}$; $x = 3$.

г) $5x^3 — 54x^2 + 39x + 10 = 0$

Уравнение имеет корень $x = 1$, выделяем $x — 1$:

$5x^3 — 54x^2 + 39x + 10 = (5x^3 — 5x^2) — 49x^2 + 39x + 10 =$

$= 5x^2(x — 1) — 49x(x — 1) — 10(x — 1) =$

$= (x — 1)(5x^2 — 49x — 10)$.

$5x^2 — 49x — 10 = 0$

$D = 2401 + 4 \cdot 5 \cdot 10 = 2601 = \sqrt{2601} = 51$.

$x_1 = \frac{49 — 51}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{49 + 51}{10} = \frac{100}{10} = 10$.

Тогда, уравнение $5x^3 — 54x^2 + 39x + 10 = 0$ имеет корни: $-\frac{1}{5}$; $1$; $10$.

Ответ: $x = -\frac{1}{5}$; $x = 1$; $x = 10$.

а) $x^4 + 2x^3 — x — 2 = 0$

Начнем с группировки членов:

$$x^3(x + 2) — (x + 2) = 0$$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$$(x + 2)(x^3 — 1) = 0$$

Разложим куб разности:

$$(x + 2)(x — 1)(x^2 + x + 1) = 0$$

Теперь приравниваем каждый множитель к нулю:

$$x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$ $$x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$ $$x^2 + x + 1 = 0 \quad \text{не имеет действительных корней, так как дискриминант} \, \Delta = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$$

Ответ: $x = 1$; $x = -2$.

б) $x^3 — 12x^2 + 9x + 22 = 0$

Начнем с подбора корня $x = -1$ и выделения $x + 1$ как множителя:

$$x^3 — 12x^2 + 9x + 22 = (x^3 + x^2) — 13x^2 + 9x + 22$$

Далее группируем:

$$= x^2(x + 1) — 13x(x + 1) + 22(x + 1)$$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$$= (x + 1)(x^2 — 13x + 22)$$

Разложим квадратное уравнение:

$$x^2 — 13x + 22 = 0$$

Дискриминант:

$$\Delta = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 — 88 = 81$$

Корни:

$$x_1 = \frac{13 — \sqrt{81}}{2} = \frac{13 — 9}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{13 + \sqrt{81}}{2} = \frac{13 + 9}{2} = 11$$

Ответ: $x = -1$; $x = 2$; $x = 11$.

в) $2x^3 — 7x^2 + 9 = 0$

Начнем с подбора корня $x = -1$ и выделения $x + 1$:

$$2x^3 — 7x^2 + 9 = 2x^3 + 2x^2 — 9x^2 + 9 = 2x^2(x + 1) — 9(x^2 — 1)$$

Группируем:

$$= (x + 1)(2x^2 — 9x + 9)$$

Теперь решим квадратное уравнение:

$$2x^2 — 9x + 9 = 0$$

Дискриминант:

$$\Delta = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 — 72 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{9 — 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Ответ: $x = -1$; $x = \frac{3}{2}$; $x = 3$.

г) $5x^3 — 54x^2 + 39x + 10 = 0$

Начнем с подбора корня $x = 1$ и выделения $x — 1$:

$$5x^3 — 54x^2 + 39x + 10 = (5x^3 — 5x^2) — 49x^2 + 39x + 10$$

Группируем:

$$= 5x^2(x — 1) — 49x(x — 1) — 10(x — 1)$$

Вынесем общий множитель $(x — 1)$:

$$= (x — 1)(5x^2 — 49x — 10)$$

Решим квадратное уравнение:

$$5x^2 — 49x — 10 = 0$$

Дискриминант:

$$\Delta = (-49)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 2401 + 200 = 2601$$

Корни:

$$x_1 = \frac{49 — \sqrt{2601}}{10} = \frac{49 — 51}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{49 + \sqrt{2601}}{10} = \frac{49 + 51}{10} = \frac{100}{10} = 10$$

Ответ: $x = -\frac{1}{5}$; $x = 1$; $x = 10$.