ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 55 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение.

а) $\frac{2a}{3a+3}+\frac{5a}{6a+6}$;
б) $\frac{m}{4m-4}-\frac{m}{12m-12}$;
в) $\frac{x}{2x-2y}+\frac{3x}{8x-8y}$;
г) $\frac{9p}{9p+9q}-\frac{p}{3p+3q}$;
д) $\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx}$;
е) $\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad}$.

а)$\frac{2a}{3a+3}+\frac{5a}{6a+6}=\frac{2a}{3(a+1)}+\frac{5a}{6(a+1)}=\frac{2a\cdot 2+5a}{6(a+1)}=\frac{4a+5a}{6(a+1)}=\frac{9a}{6(a+1)}=\frac{3a}{2(a+1)}$

б)$\frac{m}{4m-4}-\frac{m}{12m-12}=\frac{m}{4(m-1)}-\frac{m}{12(m-1)}=\frac{3m-m}{12(m-1)}=\frac{2m}{12(m-1)}=\frac{m}{6(m-1)}$

в)$\frac{x}{2x-2y}+\frac{3x}{8x-8y}=\frac{x}{2(x-y)}+\frac{3x}{8(x-y)}=\frac{4x+3x}{8(x-y)}=\frac{7x}{8(x-y)}$

г)$\frac{4p}{9p+9q}-\frac{p}{3p+3q}=\frac{4p}{9(p+q)}-\frac{p}{3(p+q)}=\frac{4p-3p}{9(p+q)}=\frac{p}{9(p+q)}$

д)$\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx}=\frac{x}{a(x+y)}+\frac{y}{b(y+x)}=\frac{xb+ya}{ab(x+y)}$

е)$\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad}=\frac{a}{c(b-d)}-\frac{c}{a(b-d)}=\frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2a}{3a+3}+\frac{5a}{6a+6}\mathrm{.}$$

Начнем с того, что выделим общий множитель в знаменателях для удобства. В первом знаменателе $3a+3$ можно вынести $3$, во втором $6a+6$ можно вынести $6$:

$$\frac{2a}{3(a+1)}+\frac{5a}{6(a+1)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $6(a+1)$, поэтому преобразуем дроби:

$$\frac{2a}{3(a+1)}=\frac{4a}{6(a+1)}\mathrm{.}$$

Теперь можем сложить дроби:

$$\frac{4a}{6(a+1)}+\frac{5a}{6(a+1)}=\frac{4a+5a}{6(a+1)}=\frac{9a}{6(a+1)}\mathrm{.}$$

Сократим числитель и знаменатель на 3:

$$\frac{9a}{6(a+1)}=\frac{3a}{2(a+1)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{3a}{2(a+1)}\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m}{4m-4}-\frac{m}{12m-12}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель в знаменателях. В первом знаменателе $4m-4$ можно вынести $4$, во втором $12m-12$ можно вынести $12$:

$$\frac{m}{4(m-1)}-\frac{m}{12(m-1)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $12(m-1)$, преобразуем дроби:

$$\frac{m}{4(m-1)}=\frac{3m}{12(m-1)}\mathrm{.}$$

Теперь можем вычесть дроби:

$$\frac{3m}{12(m-1)}-\frac{m}{12(m-1)}=\frac{3m-m}{12(m-1)}=\frac{2m}{12(m-1)}\mathrm{.}$$

Сократим числитель и знаменатель на 2:

$$\frac{2m}{12(m-1)}=\frac{m}{6(m-1)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{m}{6(m-1)}\mathrm{.}$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x}{2x-2y}+\frac{3x}{8x-8y}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель в знаменателях. В первом знаменателе $2x-2y$ можно вынести $2$, во втором $8x-8y$ можно вынести $8$:

$$\frac{x}{2(x-y)}+\frac{3x}{8(x-y)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $8(x-y)$, преобразуем дроби:

$$\frac{x}{2(x-y)}=\frac{4x}{8(x-y)}\mathrm{.}$$

Теперь можем сложить дроби:

$$\frac{4x}{8(x-y)}+\frac{3x}{8(x-y)}=\frac{4x+3x}{8(x-y)}=\frac{7x}{8(x-y)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{7x}{8(x-y)}\mathrm{.}$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{4p}{9p+9q}-\frac{p}{3p+3q}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель в знаменателях. В первом знаменателе $9p+9q$ можно вынести $9$, во втором $3p+3q$ можно вынести $3$:

$$\frac{4p}{9(p+q)}-\frac{p}{3(p+q)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $9(p+q)$, преобразуем дроби:

$$\frac{4p}{9(p+q)}=\frac{4p}{9(p+q)},\frac{p}{3(p+q)}=\frac{3p}{9(p+q)}\mathrm{.}$$

Теперь можем вычесть дроби:

$$\frac{4p}{9(p+q)}-\frac{3p}{9(p+q)}=\frac{4p-3p}{9(p+q)}=\frac{p}{9(p+q)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{p}{9(p+q)}\mathrm{.}$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x}{ax+ay}+\frac{y}{by+bx}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель в числителях и знаменателях. В первом знаменателе $ax+ay$ можно вынести $a$, во втором $by+bx$ можно вынести $b$:

$$\frac{x}{a(x+y)}+\frac{y}{b(x+y)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(x+y)$, преобразуем дроби:

$$\frac{x}{a(x+y)}=\frac{bx}{ab(x+y)},\frac{y}{b(x+y)}=\frac{ay}{ab(x+y)}\mathrm{.}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{bx}{ab(x+y)}+\frac{ay}{ab(x+y)}=\frac{bx+ay}{ab(x+y)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{bx+ay}{ab(x+y)}\mathrm{.}$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{cb-cd}-\frac{c}{ab-ad}\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель в числителях и знаменателях. В первом знаменателе $cb-cd$ можно вынести $c$, во втором $ab-ad$ можно вынести $a$:

$$\frac{a}{c(b-d)}-\frac{c}{a(b-d)}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $ac(b-d)$:

$$\frac{a}{c(b-d)}=\frac{a^2}{ac(b-d)},\frac{c}{a(b-d)}=\frac{c^2}{ac(b-d)}\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{a^2}{ac(b-d)}-\frac{c^2}{ac(b-d)}=\frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}\mathrm{.}$$

Преобразуем числитель $a^2-c^2$ как разность квадратов:

$$a^2-c^2=(a-c)(a+c)\mathrm{.}$$

Получаем:

$$\frac{(a-c)(a+c)}{ac(b-d)}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{(a-c)(a+c)}{ac(b-d)}$$