ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 547 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) (x+y)^2-3(x+y)-10;
б) (a+b)^2-5(a+b)-84;
в) (m+n)^2+3(m+n)+2;
г) (a-2)^2+4(a-2)-21;
д) (3-y)^2-2(3-y)-35;
е) (1-x)^2-6(1-x)+8.

а) $(x + y)^2 — 3(x + y) — 10 = 0$

Замена: $x + y = a$;

$$a^2 — 3a — 10 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 a_2 = -10, \quad a_1 + a_2 = 3$$ $$a_1 = -2, \quad a_2 = 5$$

Подставляем:

$$a^2 — 3a — 10 = (a + 2)(a — 5)$$

Изначальное уравнение:

$$(x + y)^2 — 3(x + y) — 10 = (x + y + 2)(x + y — 5)$$

б) $(a + b)^2 — 5(a + b) — 84 = 0$

Замена: $a + b = x$;

$$x^2 — 5x — 84 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x_1{x}_2=-84,x_1+x_2=5$$

$$x_1 x_2 = -84, \quad x_1 + x_2 = 5$$ $$x_1 = 12, \quad x_2 = -7$$

Подставляем:

$$x^2 — 5x — 84 = (x — 12)(x + 7)$$

Изначальное уравнение:

$$(a + b)^2 — 5(a + b) — 84 = (a + b — 12)(a + b + 7)$$

в) $(m + n)^2 + 3(m + n) + 2 = 0$

Замена: $m + n = a$;

$$a^2 + 3a + 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1{a}_2=2,a_1+a_2=-3$$

$$a_1 a_2 = 2, \quad a_1 + a_2 = -3$$ $$a_1 = -1, \quad a_2 = -2$$

Подставляем:

$$a^2 + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2)$$

Изначальное уравнение:

$$(m + n)^2 + 3(m + n) + 2 = (m + n + 1)(m + n + 2)$$

г) $(a — 2)^2 + 4(a — 2) — 21 = 0$

Замена: $a — 2 = x$;

$$x^2 + 4x — 21 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x_1{x}_2=-21,x_1+x_2=-4$$

$$x_1 x_2 = -21, \quad x_1 + x_2 = -4$$ $$x_1 = -7, \quad x_2 = 3$$

Подставляем:

$$x^2 + 4x — 21 = (x + 7)(x — 3)$$

Изначальное уравнение:

$$(a-2{)}^2+4(a-2)-21=(a-2+7)(a-2-3)$$

$$(a — 2)^2 + 4(a — 2) — 21 = (a — 2 + 7)(a — 2 — 3)$$ $$= (a + 5)(a — 5)$$

д) $(3 — y)^2 — 2(3 — y) — 35 = 0$

Замена: $3 — y = a$;

$$a^2 — 2a — 35 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 a_2 = -35, \quad a_1 + a_2 = 2$$ $$a_1 = 7, \quad a_2 = -5$$

Подставляем:

$$a^2 — 2a — 35 = (a — 7)(a + 5)$$

Изначальное уравнение:

$$(3-y{)}^2-2(3-y)-35=(3-y-7)(3-y+5)$$

$$(3 — y)^2 — 2(3 — y) — 35 = (3 — y — 7)(3 — y + 5)$$ $$= (-y — 4)(8 — y) = -(y + 4)(y — 8)$$

е) $(1 — x)^2 — 6(1 — x) + 8 = 0$

Замена: $1 — x = a$;

$$a^2 — 6a + 8 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 a_2 = 8, \quad a_1 + a_2 = 6$$ $$a_1 = 4, \quad a_2 = 2$$

Подставляем:

$$a^2 — 6a + 8 = (a — 4)(a — 2)$$

Изначальное уравнение:

$$(1-x{)}^2-6(1-x)+8=(1-x-4)(1-x-2)$$

$$(1 — x)^2 — 6(1 — x) + 8 = (1 — x — 4)(1 — x — 2)$$ $$= (-x — 3)(-x — 1) = (x + 3)(x + 1)$$

а) $(x + y)^2 — 3(x + y) — 10 = 0$

Замена: Пусть $x + y = a$.

$$a^2 — 3a — 10 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 a_2 = -10, \quad a_1 + a_2 = 3$$

Пара чисел, произведение которых равно $-10$, а сумма — $3$, это $a_1 = -2$ и $a_2 = 5$.

Разлагаем выражение:

$$a^2 — 3a — 10 = (a + 2)(a — 5)$$

Изначальное уравнение:

$$(x + y)^2 — 3(x + y) — 10 = (x + y + 2)(x + y — 5)$$

б) $(a + b)^2 — 5(a + b) — 84 = 0$

Замена: Пусть $a + b = x$.

$$x^2 — 5x — 84 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x_1 x_2 = -84, \quad x_1 + x_2 = 5$$

Пара чисел, произведение которых равно $-84$, а сумма — $5$, это $x_1 = 12$ и $x_2 = -7$.

Разлагаем выражение:

$$x^2 — 5x — 84 = (x — 12)(x + 7)$$

Изначальное уравнение:

$$(a + b)^2 — 5(a + b) — 84 = (a + b — 12)(a + b + 7)$$

в) $(m + n)^2 + 3(m + n) + 2 = 0$

Замена: Пусть $m + n = a$.

$$a^2 + 3a + 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 a_2 = 2, \quad a_1 + a_2 = -3$$

Пара чисел, произведение которых равно $2$, а сумма — $-3$, это $a_1 = -1$ и $a_2 = -2$.

Разлагаем выражение:

$$a^2 + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2)$$

Изначальное уравнение:

$$(m + n)^2 + 3(m + n) + 2 = (m + n + 1)(m + n + 2)$$

г) $(a — 2)^2 + 4(a — 2) — 21 = 0$

Замена: Пусть $a — 2 = x$.

$$x^2 + 4x — 21 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x_1 x_2 = -21, \quad x_1 + x_2 = -4$$

Пара чисел, произведение которых равно $-21$, а сумма — $-4$, это $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$.

Разлагаем выражение:

$$x^2 + 4x — 21 = (x + 7)(x — 3)$$

Изначальное уравнение:

$$(a — 2)^2 + 4(a — 2) — 21 = (a — 2 + 7)(a — 2 — 3)$$ $$= (a + 5)(a — 5)$$

д) $(3 — y)^2 — 2(3 — y) — 35 = 0$

Замена: Пусть $3 — y = a$.

$$a^2 — 2a — 35 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 a_2 = -35, \quad a_1 + a_2 = 2$$

Пара чисел, произведение которых равно $-35$, а сумма — $2$, это $a_1 = 7$ и $a_2 = -5$.

Разлагаем выражение:

$$a^2 — 2a — 35 = (a — 7)(a + 5)$$

Изначальное уравнение:

$$(3 — y)^2 — 2(3 — y) — 35 = (3 — y — 7)(3 — y + 5)$$ $$= (-y — 4)(8 — y) = -(y + 4)(y — 8)$$

е) $(1 — x)^2 — 6(1 — x) + 8 = 0$

Замена: Пусть $1 — x = a$.

$$a^2 — 6a + 8 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 a_2 = 8, \quad a_1 + a_2 = 6$$

Пара чисел, произведение которых равно $8$, а сумма — $6$, это $a_1 = 4$ и $a_2 = 2$.

Разлагаем выражение:

$$a^2 — 6a + 8 = (a — 4)(a — 2)$$

Изначальное уравнение:

$$(1 — x)^2 — 6(1 — x) + 8 = (1 — x — 4)(1 — x — 2)$$ $$= (-x — 3)(-x — 1) = (x + 3)(x + 1)$$