ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 546 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) x^4-5x^2+4;
б) m^4-13m^2+36;
в) 4x^4-32x^2;

а)

$x^4 — 5x^2 + 4 = 0$

Замена:

$x^2 = y$

;

$$y^2-5y+4=0$$

$$y^2 — 5y + 4 = 0$$

$$y_1{y}_2=4,y_1+y_2=5$$

$$y_1 y_2 = 4, \quad y_1 + y_2 = 5$$

$$y_1 = 4, \quad y_2 = 1$$

Подставим:

$$x^2=4,x^2=1$$

$$x^2 = 4, \quad x^2 = 1$$

$$x=\pm 2,x=\pm 1$$

$$x = \pm 2, \quad x = \pm 1$$

$$x^4 — 5x^2 + 4 = (x — 2)(x + 2)(x — 1)(x + 1)$$

б)

$m^4 — 13m^2 + 36 = 0$

Замена:

$m^2 = x$

;

$$x^2-13x+36=0$$

$$x^2 — 13x + 36 = 0$$

$$x_1{x}_2=36,x_1+x_2=13$$

$$x_1 x_2 = 36, \quad x_1 + x_2 = 13$$

$$x_1 = 9, \quad x_2 = 4$$

Подставим:

$$m^2=9,m^2=4$$

$$m^2 = 9, \quad m^2 = 4$$

$$m=\pm 3,m=\pm 2$$

$$m = \pm 3, \quad m = \pm 2$$

$$m^4 — 13m^2 + 36 = (m — 3)(m + 3)(m — 2)(m + 2)$$

в)

$4x^4 — 32x^2 = 4x^2(x^2 — 8) = 4x^2(x — \sqrt{8})(x + \sqrt{8})$

г)

$3x^4 — 75 = 3(x^4 — 25) = 3(x^2 — 5)(x^2 + 5) = 3(x — \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 5)$

а)

$x^4 — 5x^2 + 4 = 0$

Замена переменной: Пусть

$x^2 = y$

. Тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 — 5y + 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$y_1 y_2 = 4, \quad y_1 + y_2 = 5$$

Пара чисел, произведение которых равно

$4$

, а сумма —

$5$

, это

$y_1 = 4$

и

$y_2 = 1$

.

Подставляем обратно

$x^2 = 4$

и

$x^2 = 1$

:

$$x^2 = 4, \quad x^2 = 1$$

Решаем для

$x$

:

$$x = \pm 2, \quad x = \pm 1$$

Разлагаем выражение:

$$x^4 — 5x^2 + 4 = (x — 2)(x + 2)(x — 1)(x + 1)$$

Ответ:

$x = \pm 2, \, x = \pm 1$

.

б)

$m^4 — 13m^2 + 36 = 0$

Замена переменной: Пусть

$m^2 = x$

. Тогда уравнение принимает вид:

$$x^2 — 13x + 36 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x_1 x_2 = 36, \quad x_1 + x_2 = 13$$

Пара чисел, произведение которых равно

$36$

, а сумма —

$13$

, это

$x_1 = 9$

и

$x_2 = 4$

.

Подставляем обратно

$m^2 = 9$

и

$m^2 = 4$

:

$$m^2 = 9, \quad m^2 = 4$$

Решаем для

$m$

:

$$m = \pm 3, \quad m = \pm 2$$

Разлагаем выражение:

$$m^4 — 13m^2 + 36 = (m — 3)(m + 3)(m — 2)(m + 2)$$

Ответ:

$m = \pm 3, \, m = \pm 2$

.

в)

$4x^4 — 32x^2 = 4x^2(x^2 — 8) = 4x^2(x — \sqrt{8})(x + \sqrt{8})$

.

Выносим общий множитель

$4x^2$

из первого слагаемого:

$$4x^4 — 32x^2 = 4x^2(x^2 — 8)$$

Разлагаем квадратное выражение

$x^2 — 8$

:

$$x^2 — 8 = (x — \sqrt{8})(x + \sqrt{8})$$

Ответ:

$4x^4 — 32x^2 = 4x^2(x — \sqrt{8})(x + \sqrt{8})$

.

г)

$3x^4 — 75 = 3(x^4 — 25) = 3(x^2 — 5)(x^2 + 5) = 3(x — \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 5)$

.

Выносим общий множитель

$3$

из первого слагаемого:

$$3x^4 — 75 = 3(x^4 — 25)$$

Разлагаем выражение

$x^4 — 25$

:

$$x^4 — 25 = (x^2 — 5)(x^2 + 5)$$

Разлагаем

$x^2 — 5$

:

$$x^2 — 5 = (x — \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$$

Ответ:

$3x^4 — 75 = 3(x — \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 5)$

.