ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 545 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) x^2 (x-5)-x(x-5)-42(x-5);
б) y^2 (y+3)+9y(y+3)+20(y+3);
в) 2v^2 (1-v^2 )-5v(1-v^2 )-3(1-v^2 );
г) 3a^2 (a^2-4)+2a(a^2-4)-a^2+4.

а) $x^2(x — 5) — x(x — 5) — 42(x — 5) = (x — 5)(x^2 — x — 42)$

$= (x — 5)(x — 7)(x + 6)$.

$x^2 — x — 42 = (x — 7)(x + 6)$.

$x_1 x_2 = -42, \quad x_1 + x_2 = 1$;

$x_1 = 7, \quad x_2 = -6$.

б) $y^2(y + 3) + 9y(y + 3) + 20(y + 3) = (y + 3)(y^2 + 9y + 20)$

$= (y + 3)(y + 4)(y + 5)$.

$y^2 + 9y + 20 = (y + 4)(y + 5)$.

$y_1 y_2 = 20, \quad y_1 + y_2 = -9$;

$y_1 = -4, \quad y_2 = -5$.

в) $2v^2(1 — v^2) — 5v(1 — v^2) — 3(1 — v^2) = (1 — v^2)(2v^2 — 5v — 3)$

$= (1 — v)(1 + v)(2v + 1)(v — 3)$.

$2v^2 — 5v — 3 = 2\left(v + \frac{1}{2}\right)(v — 3) = (2v + 1)(v — 3)$.

$D = 25 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 = \sqrt{49} = 7$.

$v_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad v_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

г) $3a^2(a^2 — 4) + 2a(a^2 — 4) — a^2 + 4 =$

$= 3a^2(a^2 — 4) + 2a(a^2 — 4) — (a^2 — 4) = (a^2 — 4)(3a^2 + 2a — 1)$

$= (a — 2)(a + 2)(3a — 1)(a + 1)$.

$3a^2 + 2a — 1 = 3\left(a — \frac{1}{3}\right)(a + 1) = (3a — 1)(a + 1)$.

$D = 4 + 4 \cdot 3 = 16 = \sqrt{16} = 4$.

$a_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1, \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

а) $x^2(x — 5) — x(x — 5) — 42(x — 5) = (x — 5)(x^2 — x — 42)$

Выносим общий множитель $(x — 5)$:

$$x^2(x — 5) — x(x — 5) — 42(x — 5) = (x — 5)(x^2 — x — 42)$$

Разлагаем выражение $x^2 — x — 42$:

$$x^2 — x — 42 = (x — 7)(x + 6)$$

Подставляем в исходное выражение:

$$(x — 5)(x — 7)(x + 6)$$

Находим корни уравнения $x^2 — x — 42$:

У нас есть два числа, произведение которых равно $-42$ (корни уравнения) и сумма которых равна $1$.

Множители: $x_1 = 7, \quad x_2 = -6$.

Ответ: $x_1 = 7, \, x_2 = -6$.

б) $y^2(y + 3) + 9y(y + 3) + 20(y + 3) = (y + 3)(y^2 + 9y + 20)$

Выносим общий множитель $(y + 3)$:

$$y^2(y + 3) + 9y(y + 3) + 20(y + 3) = (y + 3)(y^2 + 9y + 20)$$

Разлагаем выражение $y^2 + 9y + 20$:

$$y^2 + 9y + 20 = (y + 4)(y + 5)$$

Подставляем в исходное выражение:

$$(y + 3)(y + 4)(y + 5)$$

Находим корни уравнения $y^2 + 9y + 20$:

У нас есть два числа, произведение которых равно $20$ и сумма которых равна $-9$.

Множители: $y_1 = -4, \quad y_2 = -5$.

Ответ: $y_1 = -4, \, y_2 = -5$.

в) $2v^2(1 — v^2) — 5v(1 — v^2) — 3(1 — v^2) = (1 — v^2)(2v^2 — 5v — 3)$

Выносим общий множитель $(1 — v^2)$:

$$2v^2(1 — v^2) — 5v(1 — v^2) — 3(1 — v^2) = (1 — v^2)(2v^2 — 5v — 3)$$

Разлагаем выражение $2v^2 — 5v — 3$:

$$2v^2 — 5v — 3 = 2\left(v + \frac{1}{2}\right)(v — 3) = (2v + 1)(v — 3)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 25 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 = \sqrt{49} = 7$$

Находим корни уравнения $2v^2 — 5v — 3$:

$$v_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad v_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Ответ: $v_1 = -\frac{1}{2}, \, v_2 = 3$.

г) $3a^2(a^2 — 4) + 2a(a^2 — 4) — a^2 + 4 =$

Выносим общий множитель $(a^2 — 4)$:

$$3a^2(a^2 — 4) + 2a(a^2 — 4) — (a^2 — 4) = (a^2 — 4)(3a^2 + 2a — 1)$$

Разлагаем выражение $3a^2 + 2a — 1$:

$$3a^2 + 2a — 1 = 3\left(a — \frac{1}{3}\right)(a + 1) = (3a — 1)(a + 1)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 4 + 4 \cdot 3 = 16 = \sqrt{16} = 4$$

Находим корни уравнения $3a^2 + 2a — 1$:

$$a_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1, \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $a_1 = -1, \, a_2 = \frac{1}{3}$.