ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 544 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) (x^3+1)/(3x^2+2x-1);
б) (x^3-1)/(2x^2+x-3);
в) (1-x^2)/(5x^2-4x-1);
г) (2x^2-7x+3)/(x-2x^2 );
д) (5+3x-2x^2)/(1-x-2x^2 );
е) (3x^2-4x-4)/(6-x-x^2 ).

а) $\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x — 1} = \frac{(x + 1)(x^2 — x + 1)}{(3x — 1)(x + 1)} = \frac{x^2 — x + 1}{3x — 1}$.

Разлагаем выражение:

$$3x^2 + 2x — 1 = 3\left(x — \frac{1}{3}\right)(x + 1) = (3x — 1)(x + 1)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 4 + 4 \cdot 3 = 16 = \sqrt{16} = 4$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $x_1 = -1, \, x_2 = \frac{1}{3}$.

б) $\frac{x^3 — 1}{2x^2 + x — 3} = \frac{(x — 1)(x^2 + x + 1)}{(2x + 3)(x — 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{2x + 3}$.

Разлагаем выражение:

$$2x^2 + x — 3 = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)(x — 1) = (2x + 3)(x — 1)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 = \sqrt{25} = 5$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Ответ: $x_1 = -\frac{3}{2}, \, x_2 = 1$.

в) $\frac{1 — x^2}{5x^2 — 4x — 1} = \frac{(1 — x)(1 + x)}{(5x + 1)(x — 1)} = -\frac{1 + x}{5x + 1}$.

Разлагаем выражение:

$$5x^2 — 4x — 1 = 5\left(x + \frac{1}{5}\right)(x — 1) = (5x + 1)(x — 1)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 16 + 4 \cdot 5 = 36 = \sqrt{36} = 6$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{4 — 6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{5}, \, x_2 = 1$.

г) $\frac{2x^2 — 7x + 3}{x — 2x^2} = \frac{(2x — 1)(x — 3)}{x(1 — 2x)} = -\frac{x — 3}{x} = \frac{3 — x}{x}$.

Разлагаем выражение:

$$2x^2 — 7x + 3 = 2\left(x — \frac{1}{2}\right)(x — 3) = (2x — 1)(x — 3)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 49 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 = \sqrt{25} = 5$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, \, x_2 = 3$.

д) $\frac{5 + 3x — 2x^2}{1 — x — 2x^2} = \frac{(5 — 2x)(x + 1)}{(1 — 2x)(x + 1)} = \frac{5 — 2x}{1 — 2x}$.

Разлагаем выражение:

$$-2x^2 + 3x + 5 = -2\left(x — \frac{5}{2}\right)(x + 1) = (5 — 2x)(x + 1)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 = \sqrt{49} = 7$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-3 — 7}{-2 \cdot 2} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{-2 \cdot 2} = \frac{4}{-4} = -1$$

Ответ: $x_1 = \frac{5}{2}, \, x_2 = -1$.

е) $\frac{3x^2 — 4x — 4}{6 — x — x^2} = \frac{(3x + 2)(x — 2)}{-(x + 3)(x — 2)} = -\frac{3x + 2}{x + 3}$.

Разлагаем выражение:

$$3x^2 — 4x — 4 = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)(x — 2) = (3x + 2)(x — 2)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 16 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 = \sqrt{64} = 8$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Разлагаем второе выражение:

$$-x^2 — x + 6 = -(x + 3)(x — 2)$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 1 + 4 \cdot 6 = 25 = \sqrt{25} = 5$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{1 — 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 + 5}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$$

Ответ: $x_1 = 2, \, x_2 = -3$.

а) $\frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2x — 1} = \frac{(x + 1)(x^2 — x + 1)}{(3x — 1)(x + 1)} = \frac{x^2 — x + 1}{3x — 1}$.

Разлагаем выражение:

$$3x^2 + 2x — 1 = 3\left(x — \frac{1}{3}\right)(x + 1) = (3x — 1)(x + 1)$$

Рассчитываем дискриминант для уравнения $3x^2 + 2x — 1$:

$$D = 4 + 4 \cdot 3 = 16 = \sqrt{16} = 4$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $x_1 = -1, \, x_2 = \frac{1}{3}$.

б) $\frac{x^3 — 1}{2x^2 + x — 3} = \frac{(x — 1)(x^2 + x + 1)}{(2x + 3)(x — 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{2x + 3}$.

Разлагаем выражение:

$$2x^2 + x — 3 = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)(x — 1) = (2x + 3)(x — 1)$$

Рассчитываем дискриминант для уравнения $2x^2 + x — 3$:

$$D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 = \sqrt{25} = 5$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Ответ: $x_1 = -\frac{3}{2}, \, x_2 = 1$.

в) $\frac{1 — x^2}{5x^2 — 4x — 1} = \frac{(1 — x)(1 + x)}{(5x + 1)(x — 1)} = -\frac{1 + x}{5x + 1}$.

Разлагаем выражение:

$$5x^2 — 4x — 1 = 5\left(x + \frac{1}{5}\right)(x — 1) = (5x + 1)(x — 1)$$

Рассчитываем дискриминант для уравнения $5x^2 — 4x — 1$:

$$D = 16 + 4 \cdot 5 = 36 = \sqrt{36} = 6$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{4 — 6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$$ $$x_2 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{5}, \, x_2 = 1$.

г) $\frac{2x^2 — 7x + 3}{x — 2x^2} = \frac{(2x — 1)(x — 3)}{x(1 — 2x)} = -\frac{x — 3}{x} = \frac{3 — x}{x}$.

Разлагаем выражение:

$$2x^2 — 7x + 3 = 2\left(x — \frac{1}{2}\right)(x — 3) = (2x — 1)(x — 3)$$

Рассчитываем дискриминант для уравнения $2x^2 — 7x + 3$:

$$D = 49 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 = \sqrt{25} = 5$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, \, x_2 = 3$.

д) $\frac{5 + 3x — 2x^2}{1 — x — 2x^2} = \frac{(5 — 2x)(x + 1)}{(1 — 2x)(x + 1)} = \frac{5 — 2x}{1 — 2x}$.

Разлагаем выражение:

$$-2x^2 + 3x + 5 = -2\left(x — \frac{5}{2}\right)(x + 1) = (5 — 2x)(x + 1)$$

Рассчитываем дискриминант для уравнения $-2x^2 + 3x + 5$:

$$D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 = \sqrt{49} = 7$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-3 — 7}{-2 \cdot 2} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}$$ $$x_2 = \frac{-3 + 7}{-2 \cdot 2} = \frac{4}{-4} = -1$$

Ответ: $x_1 = \frac{5}{2}, \, x_2 = -1$.

е) $\frac{3x^2 — 4x — 4}{6 — x — x^2} = \frac{(3x + 2)(x — 2)}{-(x + 3)(x — 2)} = -\frac{3x + 2}{x + 3}$.

Разлагаем выражение:

$$3x^2 — 4x — 4 = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)(x — 2) = (3x + 2)(x — 2)$$

Рассчитываем дискриминант для уравнения $3x^2 — 4x — 4$:

$$D = 16 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 = \sqrt{64} = 8$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Разлагаем второе выражение:

$$-x^2 — x + 6 = -(x + 3)(x — 2)$$

Рассчитываем дискриминант для уравнения $-x^2 — x + 6$:

$$D = 1 + 4 \cdot 6 = 25 = \sqrt{25} = 5$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{1 — 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$ $$x_2 = \frac{1 + 5}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$$

Ответ: $x_1 = 2, \, x_2 = -3$.