ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 54 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение.

а) $\frac{4b}{3(b+3)}+\frac{4}{b+3}$;
б) $\frac{x}{4(x-1)}-\frac{x}{6(x-1)}$;
в) $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}$;
г) $\frac{3x}{y(x+y)}-\frac{3y}{x(x+y)}$.

а)$\frac{4b}{3(b+3)}+\frac{4}{b+3}=\frac{4b+4\cdot 3}{3(b+3)}=\frac{4b+12}{3(b+3)}=\frac{4(b+3)}{3(b+3)}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

б)$\frac{x}{4(x-1)}-\frac{x}{6(x-1)}=\frac{3x-2x}{12(x-1)}=\frac{x}{12(x-1)}$

в)$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}=\frac{b+a}{ab(a+b)}=\frac{1}{ab}$

г)$\frac{3x}{y(x+y)}-\frac{3y}{x(x+y)}=\frac{3x^2-3y^2}{xy(x+y)}=\frac{3(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}=\frac{3x-3y}{xy}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$4b^3(b+3)+4b+3.$$

Начнем с того, что распределим $4b^3$ по скобке $b+3$:

$$4b^3(b+3)=4b^3\cdot b+4b^3\cdot 3=4b^4+12b^3\mathrm{.}$$

Теперь сложим все части выражения:

$$4b^4+12b^3+4b+3.$$

В этом выражении можно выделить общий множитель $b+3$ в двух первых и двух последних членах:

$$(4b^3)(b+3)+4(b+3)=(b+3)(4b^3+4)\mathrm{.}$$

Далее можно вынести общий множитель 4:

$$(b+3)\cdot 4(b^3+1)\mathrm{.}$$

Теперь можно применить разложение формулы куба суммы:

$$b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)\mathrm{.}$$

После чего выражение примет вид:

$$4(b+3)(b+1)(b^2-b+1)\mathrm{.}$$

Ответ:

$$4(b+3)(b+1)(b^2-b+1)\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$x^4(x-1)-x^6(x-1)\mathrm{.}$$

Мы видим, что у обоих членов есть общий множитель $x(x-1)$, который можем вынести:

$$x^4(x-1)-x^6(x-1)=x(x-1)(x^3-x^5)\mathrm{.}$$

После вынесения $x(x-1)$ получаем:

$$x(x-1)(x^3-x^5)\mathrm{.}$$

Упростим внутри скобок $x^3-x^5=x^3(1-x^2)$, и выражение примет вид:

$$x(x-1)(x^3)(1-x^2)\mathrm{.}$$

Ответ:

$$x(x-1)(x^3)(1-x^2)\mathrm{.}$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{a}(a+b)+\frac{1}{b}(a+b)\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ из числителей:

$$\frac{1}{a}(a+b)+\frac{1}{b}(a+b)=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\mathrm{.}$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему знаменателю $ab$:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}\mathrm{.}$$

Теперь выражение примет вид:

$$(a+b)\cdot \frac{a+b}{ab}=\frac{(a+b{)}^2}{ab}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{(a+b{)}^2}{ab}\mathrm{.}$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$3xy(x+y)-3yx(x+y)\mathrm{.}$$

Вынесем общий множитель $3xy(x+y)$:

$$3xy(x+y)-3yx(x+y)=3xy(x+y)-3xy(x+y)\mathrm{.}$$

После того как вынесли общий множитель, у нас осталось:

$$3xy(x+y)-3xy(x+y)=0.$$

Ответ:

$$0.$$