ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 539 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) x^3+3x^2+2x;
б) x^3-7x^2+10x;
в) x^3-12x^2+32x;
г) x^4+x^3-6x^2.

a) $x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2) = x(x + 2)(x + 1)$.

$x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)$.

$x_1 x_2 = 2, \quad x_1 + x_2 = -3$;

$x_1 = -2, \quad x_2 = -1$.

б) $x^3 — 7x^2 + 10x = x(x^2 — 7x + 10) = x(x — 5)(x — 2)$.

$x^2 — 7x + 10 = (x — 5)(x — 2)$.

$x_1 x_2 = 10, \quad x_1 + x_2 = 7$;

$x_1 = 5, \quad x_2 = 2$.

в) $x^3 — 12x^2 + 32x = x(x^2 — 12x + 32) = x(x — 8)(x — 4)$.

$x^2 — 12x + 32 = (x — 8)(x — 4)$.

$x_1 x_2 = 32, \quad x_1 + x_2 = 12$;

$x_1 = 8, \quad x_2 = 4$.

г) $x^4 + x^3 — 6x^2 = x^2(x^2 + x — 6) = x^2(x + 3)(x — 2)$.

$x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)$.

$x_1 x_2 = -6, \quad x_1 + x_2 = -1$;

$x_1 = -3, \quad x_2 = 2$.

а)

$$x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2) = x(x + 2)(x + 1)$$

Первоначальное выражение $x^3 + 3x^2 + 2x$ можно факторизовать, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$$x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2)$$

Теперь внутри скобок $x^2 + 3x + 2$ мы видим, что это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители. Мы ищем такие два числа, которые в сумме дают 3, а в произведении — 2. Это числа 1 и 2:

$$x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)$$

Подставляем найденное разложение обратно в исходное выражение:

$$x(x^2 + 3x + 2) = x(x + 2)(x + 1)$$

Теперь у нас есть произведение $x(x + 2)(x + 1)$, которое равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, решаем уравнение для каждого множителя:

$x = 0$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = -1$.

б)

$$x^3 — 7x^2 + 10x = x(x^2 — 7x + 10) = x(x — 5)(x — 2)$$

Первоначальное выражение $x^3 — 7x^2 + 10x$ также можно факторизовать, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$$x^3 — 7x^2 + 10x = x(x^2 — 7x + 10)$$

Далее нужно разложить квадратное уравнение $x^2 — 7x + 10$. Мы ищем такие два числа, которые в сумме дают -7, а в произведении — 10. Это числа -5 и -2:

$$x^2 — 7x + 10 = (x — 5)(x — 2)$$

Подставляем разложение в исходное выражение:

$$x(x^2 — 7x + 10) = x(x — 5)(x — 2)$$

Теперь решаем уравнение для каждого множителя:

$x = 0$

$x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

$x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = 2$.

в)

$$x^3 — 12x^2 + 32x = x(x^2 — 12x + 32) = x(x — 8)(x — 4)$$

В данном выражении также можем вынести общий множитель $x$:

$$x^3 — 12x^2 + 32x = x(x^2 — 12x + 32)$$

Теперь разлагаем квадратное уравнение $x^2 — 12x + 32$. Мы ищем такие два числа, которые в сумме дают -12, а в произведении — 32. Это числа -8 и -4:

$$x^2 — 12x + 32 = (x — 8)(x — 4)$$

Подставляем разложение в исходное выражение:

$$x(x^2 — 12x + 32) = x(x — 8)(x — 4)$$

Теперь решаем уравнение для каждого множителя:

$x = 0$

$x — 8 = 0 \Rightarrow x = 8$

$x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$, $x_3 = 4$.

г)

$$x^4 + x^3 — 6x^2 = x^2(x^2 + x — 6) = x^2(x + 3)(x — 2)$$

Начинаем с вынесения общего множителя $x^2$:

$$x^4 + x^3 — 6x^2 = x^2(x^2 + x — 6)$$

Разлагаем квадратное уравнение $x^2 + x — 6$. Мы ищем такие два числа, которые в сумме дают 1, а в произведении — -6. Это числа 3 и -2:

$$x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)$$

Подставляем разложение в исходное выражение:

$$x^2(x^2 + x — 6) = x^2(x + 3)(x — 2)$$

Теперь решаем уравнение для каждого множителя:

$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

$x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$, $x_3 = 2$.