ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 538 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) (x^2+6x+5)/(x^2+5x);
б) (a^2-9)/(a^2+8a+15);
в) (y^2-7y+12)/(2y^2-8y);
г) (b^2-25)/(b^2-8b+15);
д) (m^2-2m-8)/(m^2+4m+4);
е) (n^2+2n+1)/(n^2+5n+4).

a) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{(x + 5)(x + 1)}{x(x + 5)} = \frac{x + 1}{x}$.

$x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)$.

$x_1 x_2 = 5, \quad x_1 + x_2 = -6$;

$x_1 = -5, \quad x_2 = -1$.

б) $\frac{a^2 — 9}{a^2 + 8a + 15} = \frac{(a — 3)(a + 3)}{(a + 3)(a + 5)} = \frac{a — 3}{a + 5}$.

$a^2 + 8a + 15 = (a + 3)(a + 5)$.

$a_1 a_2 = 15, \quad a_1 + a_2 = -8$;

$a_1 = -3, \quad a_2 = -5$.

в) $\frac{y^2 — 7y + 12}{2y^2 — 8y} = \frac{(y — 3)(y — 4)}{2y(y — 4)} = \frac{y — 3}{2y}$.

$y^2 — 7y + 12 = (y — 3)(y — 4)$.

$y_1 y_2 = 12, \quad y_1 + y_2 = 7$;

$y_1 = 3, \quad y_2 = 4$.

г) $\frac{b^2 — 25}{b^2 — 8b + 15} = \frac{(b — 5)(b + 5)}{(b — 3)(b — 5)} = \frac{b + 5}{b — 3}$.

$b^2 — 8b + 15 = (b — 3)(b — 5)$.

$b_1 b_2 = 15, \quad b_1 + b_2 = 8$;

$b_1 = 3, \quad b_2 = 5$.

д) $\frac{m^2 — 2m — 8}{m^2 + 4m + 4} = \frac{(m — 4)(m + 2)}{(m + 2)^2} = \frac{m — 4}{m + 2}$.

$m^2 — 2m — 8 = (m — 4)(m + 2)$.

$m_1 m_2 = -8, \quad m_1 + m_2 = 2$;

$m_1 = 4, \quad m_2 = -2$.

е) $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 5n + 4} = \frac{(n + 1)^2}{(n + 4)(n + 1)} = \frac{n + 1}{n + 4}$.

$n^2 + 5n + 4 = (n + 4)(n + 1)$.

$n_1 n_2 = 4, \quad n_1 + n_2 = -5$;

$n_1 = -4, \quad n_2 = -1$.

a) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{(x + 5)(x + 1)}{x(x + 5)} = \frac{x + 1}{x}$

Разложение числителя:
Числитель $x^2 + 6x + 5$ — это квадратное уравнение, которое можно разложить:

$$x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)$$

Разложение знаменателя:
Знаменатель $x^2 + 5x$ можно вынести общий множитель $x$:

$$x^2 + 5x = x(x + 5)$$

Упрощение выражения:
Подставляем разложенные выражения в дробь:

$$\frac{(x + 5)(x + 1)}{x(x + 5)}$$

Можно сократить множитель $(x + 5)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{x + 1}{x}$$

Находим корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$:
Используя теорему Виета:

$$x_1 x_2 = 5, \quad x_1 + x_2 = -6$$

Корни этого уравнения можно найти через формулы:

$$x_1 = -5, \quad x_2 = -1$$

Ответ для a):

$$x_1 = -5, \quad x_2 = -1$$ $$x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)$$

б) $\frac{a^2 — 9}{a^2 + 8a + 15} = \frac{(a — 3)(a + 3)}{(a + 3)(a + 5)} = \frac{a — 3}{a + 5}$

Разложение числителя:
Числитель $a^2 — 9$ — это разность квадратов, которая раскладывается как:

$$a^2 — 9 = (a — 3)(a + 3)$$

Разложение знаменателя:
Знаменатель $a^2 + 8a + 15$ разлагается на множители:

$$a^2 + 8a + 15 = (a + 3)(a + 5)$$

Упрощение выражения:
Подставляем разложенные выражения в дробь:

$$\frac{(a — 3)(a + 3)}{(a + 3)(a + 5)}$$

Сокращаем множитель $(a + 3)$:

$$\frac{a — 3}{a + 5}$$

Находим корни уравнения $a^2 + 8a + 15 = 0$:
Используя теорему Виета:

$$a_1 a_2 = 15, \quad a_1 + a_2 = -8$$

Корни этого уравнения:

$$a_1 = -3, \quad a_2 = -5$$

Ответ для б):

$$a_1 = -3, \quad a_2 = -5$$ $$a^2 + 8a + 15 = (a + 3)(a + 5)$$

в) $\frac{y^2 — 7y + 12}{2y^2 — 8y} = \frac{(y — 3)(y — 4)}{2y(y — 4)} = \frac{y — 3}{2y}$

Разложение числителя:
Числитель $y^2 — 7y + 12$ разлагается как:

$$y^2 — 7y + 12 = (y — 3)(y — 4)$$

Разложение знаменателя:
Знаменатель $2y^2 — 8y$ можно вынести общий множитель $2y$:

$$2y^2 — 8y = 2y(y — 4)$$

Упрощение выражения:
Подставляем разложенные выражения:

$$\frac{(y — 3)(y — 4)}{2y(y — 4)}$$

Сокращаем множитель $(y — 4)$:

$$\frac{y — 3}{2y}$$

Находим корни уравнения $y^2 — 7y + 12 = 0$:
Используя теорему Виета:

$$y_1 y_2 = 12, \quad y_1 + y_2 = 7$$

Корни уравнения:

$$y_1 = 3, \quad y_2 = 4$$

Ответ для в):

$$y_1 = 3, \quad y_2 = 4$$ $$y^2 — 7y + 12 = (y — 3)(y — 4)$$

г) $\frac{b^2 — 25}{b^2 — 8b + 15} = \frac{(b — 5)(b + 5)}{(b — 3)(b — 5)} = \frac{b + 5}{b — 3}$

Разложение числителя:
Числитель $b^2 — 25$ — это разность квадратов, которая раскладывается как:

$$b^2 — 25 = (b — 5)(b + 5)$$

Разложение знаменателя:
Знаменатель $b^2 — 8b + 15$ разлагается на множители:

$$b^2 — 8b + 15 = (b — 3)(b — 5)$$

Упрощение выражения:
Подставляем разложенные выражения:

$$\frac{(b — 5)(b + 5)}{(b — 3)(b — 5)}$$

Сокращаем множитель $(b — 5)$:

$$\frac{b + 5}{b — 3}$$

Находим корни уравнения $b^2 — 8b + 15 = 0$:
Используя теорему Виета:

$$b_1 b_2 = 15, \quad b_1 + b_2 = 8$$

Корни уравнения:

$$b_1 = 3, \quad b_2 = 5$$

Ответ для г):

$$b_1 = 3, \quad b_2 = 5$$ $$b^2 — 8b + 15 = (b — 3)(b — 5)$$

д) $\frac{m^2 — 2m — 8}{m^2 + 4m + 4} = \frac{(m — 4)(m + 2)}{(m + 2)^2} = \frac{m — 4}{m + 2}$

Разложение числителя:
Числитель $m^2 — 2m — 8$ разлагается как:

$$m^2 — 2m — 8 = (m — 4)(m + 2)$$

Разложение знаменателя:
Знаменатель $m^2 + 4m + 4$ — это полный квадрат, который раскладывается как:

$$m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2$$

Упрощение выражения:
Подставляем разложенные выражения:

$$\frac{(m — 4)(m + 2)}{(m + 2)^2}$$

Сокращаем множитель $(m + 2)$:

$$\frac{m — 4}{m + 2}$$

Находим корни уравнения $m^2 — 2m — 8 = 0$:
Используя теорему Виета:

$$m_1 m_2 = -8, \quad m_1 + m_2 = 2$$

Корни уравнения:

$$m_1 = 4, \quad m_2 = -2$$

Ответ для д):

$$m_1 = 4, \quad m_2 = -2$$ $$m^2 — 2m — 8 = (m — 4)(m + 2)$$

е) $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 5n + 4} = \frac{(n + 1)^2}{(n + 4)(n + 1)} = \frac{n + 1}{n + 4}$

Разложение числителя:
Числитель $n^2 + 2n + 1$ — это полный квадрат, который раскладывается как:

$$n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$$

Разложение знаменателя:
Знаменатель $n^2 + 5n + 4$ разлагается на множители:

$$n^2 + 5n + 4 = (n + 4)(n + 1)$$

Упрощение выражения:
Подставляем разложенные выражения:

$$\frac{(n + 1)^2}{(n + 4)(n + 1)}$$

Сокращаем множитель $(n + 1)$:

$$\frac{n + 1}{n + 4}$$

Находим корни уравнения $n^2 + 5n + 4 = 0$:
Используя теорему Виета:

$$n_1 n_2 = 4, \quad n_1 + n_2 = -5$$

Корни уравнения:

$$n_1 = -4, \quad n_2 = -1$$

Ответ для е):

$$n_1 = -4, \quad n_2 = -1$$ $$n^2 + 5n + 4 = (n + 4)(n + 1)$$