ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 53 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия; в качестве образца используйте пример 3 из текста.

а) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}$;

б) $\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b}$;

в) $\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz}$;

г) $\frac{3x+1}{3x}-\frac{2y+1}{2y}+\frac{3x-y}{6xy}$.

а)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}+\frac{1}{xy}=\frac{y+x+1}{xy}$

б)$\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b^3}-\frac{2b}{b^3}+\frac{b^2}{b^3}=\frac{1-2b+b^2}{b^3}=\frac{(1-b{)}^2}{b^3}$

в)$\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz}=\frac{z(x+y)}{xyz}-\frac{y(x+z)}{xyz}+\frac{x(y+z)}{xyz}=$

$\frac{z(x+y)-y(x+z)+x(y+z)}{xyz}=\frac{xz+yz-xy-yz+xy+xz}{xyz}=\frac{2xz}{xyz}=\frac{2}{y}$

г)$\frac{3x+1}{3x}-\frac{2y+1}{2y}+\frac{3x-y}{6xy}=\frac{2y(3x+1)}{6xy}-\frac{3x(2y+1)}{6xy}+\frac{3x-y}{6xy}=\frac{6xy+2y-6xy-3x+3x-y}{6xy}=\frac{y}{6xy}=\frac{1}{6x}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\mathrm{.}$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему знаменателю, которым является $xy$:

$$\frac{1}{x}=\frac{y}{xy},\frac{1}{y}=\frac{x}{xy},\frac{1}{xy}=\frac{1}{xy}\mathrm{.}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}+\frac{1}{xy}=\frac{y+x+1}{xy}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{x+y+1}{xy}\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b}\mathrm{.}$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему знаменателю, которым будет $b^3$:

$$\frac{1}{b^3}=\frac{1}{b^3},\frac{2}{b^2}=\frac{2b}{b^3},\frac{1}{b}=\frac{b^2}{b^3}\mathrm{.}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{1}{b^3}-\frac{2b}{b^3}+\frac{b^2}{b^3}=\frac{1-2b+b^2}{b^3}\mathrm{.}$$

Преобразуем числитель:

$$1-2b+b^2=(1-b{)}^2\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение можно записать так:

$$\frac{(1-b{)}^2}{b^3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{(1-b{)}^2}{b^3}\mathrm{.}$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz}\mathrm{.}$$

Приведем все дроби к общему знаменателю, которым будет $xyz$. Для этого преобразуем каждую дробь:

$$\frac{x+y}{xy}=\frac{z(x+y)}{xyz},\frac{x+z}{xz}=\frac{y(x+z)}{xyz},\frac{y+z}{yz}=\frac{x(y+z)}{xyz}\mathrm{.}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{z(x+y)}{xyz}-\frac{y(x+z)}{xyz}+\frac{x(y+z)}{xyz}=\frac{z(x+y)-y(x+z)+x(y+z)}{xyz}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$z(x+y)=zx+zy,y(x+z)=yx+yz,x(y+z)=xy+xz\mathrm{.}$$

Теперь получаем:

$$\frac{zx+zy-yx-yz+xy+xz}{xyz}\mathrm{.}$$

Перегруппируем и упростим выражение:

$$zx+xy+zy-yx-yz-xz=zx-xz+xy-yx+zy-yz=0.$$

Таким образом, дробь сокращается до нуля:

$$\frac{0}{xyz}=0.$$

Ответ:

$$0.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{3x+1}{3xy}-\frac{2y+1}{2xy}+\frac{3x-y}{6xy}\mathrm{.}$$

Приведем все дроби к общему знаменателю $6xy$:

$$\frac{3x+1}{3xy}=\frac{2(3x+1)}{6xy},\frac{2y+1}{2xy}=\frac{3(2y+1)}{6xy},\frac{3x-y}{6xy}=\frac{3x-y}{6xy}\mathrm{.}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{2(3x+1)}{6xy}-\frac{3(2y+1)}{6xy}+\frac{3x-y}{6xy}=\frac{2(3x+1)-3(2y+1)+(3x-y)}{6xy}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2(3x+1)=6x+2,3(2y+1)=6y+3.$$

Теперь получаем:

$$\frac{6x+2-6y-3+3x-y}{6xy}=\frac{9x-7y-1}{6xy}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{9x-7y-1}{6xy}\mathrm{.}$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{c+b}{b^2{c}^2}-\frac{c}{b^2{c}^2}\mathrm{.}$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $b^2{c}^2$, поэтому можем объединить их:

$$\frac{c+b}{b^2{c}^2}-\frac{c}{b^2{c}^2}=\frac{(c+b)-c}{b^2{c}^2}=\frac{b}{b^2{c}^2}\mathrm{.}$$

Сократим множитель $b$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1}{b{c}^2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{1}{b{c}^2}\mathrm{.}$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1+b}{ab}+\frac{1+a}{a^{2}b}\mathrm{.}$$

Приведем дроби к общему знаменателю, которым будет $a^{2}b$:

$$\frac{1+b}{ab}=\frac{a(1+b)}{a^{2}b},\frac{1+a}{a^{2}b}=\frac{1+a}{a^{2}b}\mathrm{.}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{a(1+b)}{a^{2}b}+\frac{1+a}{a^{2}b}=\frac{a(1+b)+(1+a)}{a^{2}b}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(1+b)=a+ab,1+a=1+a\mathrm{.}$$

Теперь получаем:

$$\frac{a+ab+1+a}{a^{2}b}=\frac{2a+ab+1}{a^{2}b}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{2a+ab+1}{a^{2}b}\mathrm{.}$$