ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 53 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия; в качестве образца используйте пример 3 из текста.
а) 1/x+1/y+1/xy;
б) 1/b^3 -2/b^2 +1/b;
в) (x+y)/xy-(x+z)/xz+(y+z)/yz;
г) (3x+1)/3x-(2y+1)/2y+(3x-y)/6xy.

а)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}+\frac{1}{xy}=\frac{y+x+1}{xy}$

б)

$\frac{1}{b^3}-\frac{2}{b^2}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b^3}-\frac{2b}{b^3}+\frac{b^2}{b^3}=\frac{1-2b+b^2}{b^3}=\frac{(1-b{)}^2}{b^3}$

в)

$\frac{x+y}{xy}-\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz}=\frac{z(x+y)}{xyz}-\frac{y(x+z)}{xyz}+\frac{x(y+z)}{xyz}=$

$\frac{z(x+y)-y(x+z)+x(y+z)}{xyz}=\frac{xz+yz-xy-yz+xy+xz}{xyz}=\frac{2xz}{xyz}=\frac{2}{y}$

г)

$\frac{3x+1}{3x}-\frac{2y+1}{2y}+\frac{3x-y}{6xy}=\frac{2y(3x+1)}{6xy}-\frac{3x(2y+1)}{6xy}+\frac{3x-y}{6xy}=\frac{6xy+2y-6xy-3x+3x-y}{6xy}=\frac{y}{6xy}=\frac{1}{6x}$

$\frac{3x+1}{3x} — \frac{2y+1}{2y} + \frac{3x-y}{6xy} = \frac{2y(3x+1)}{6xy} — \frac{3x(2y+1)}{6xy} + \frac{3x-y}{6xy} = \frac{6xy + 2y — 6xy — 3x + 3x — y}{6xy} = \frac{y}{6xy} = \frac{1}{6x}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}.$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему знаменателю, которым является $xy$:

$$\frac{1}{x} = \frac{y}{xy}, \quad \frac{1}{y} = \frac{x}{xy}, \quad \frac{1}{xy} = \frac{1}{xy}.$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} + \frac{1}{xy} = \frac{y + x + 1}{xy}.$$

Ответ:

$$\frac{x + y + 1}{xy}.$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{b^3} — \frac{2}{b^2} + \frac{1}{b}.$$

Приведем дроби с разными знаменателями к общему знаменателю, которым будет $b^3$:

$$\frac{1}{b^3} = \frac{1}{b^3}, \quad \frac{2}{b^2} = \frac{2b}{b^3}, \quad \frac{1}{b} = \frac{b^2}{b^3}.$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{1}{b^3} — \frac{2b}{b^3} + \frac{b^2}{b^3} = \frac{1 — 2b + b^2}{b^3}.$$

Преобразуем числитель:

$$1 — 2b + b^2 = (1 — b)^2.$$

Таким образом, выражение можно записать так:

$$\frac{(1 — b)^2}{b^3}.$$

Ответ:

$$\frac{(1 — b)^2}{b^3}.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x + y}{xy} — \frac{x + z}{xz} + \frac{y + z}{yz}.$$

Приведем все дроби к общему знаменателю, которым будет $xyz$. Для этого преобразуем каждую дробь:

$$\frac{x + y}{xy} = \frac{z(x + y)}{xyz}, \quad \frac{x + z}{xz} = \frac{y(x + z)}{xyz}, \quad \frac{y + z}{yz} = \frac{x(y + z)}{xyz}.$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{z(x + y)}{xyz} — \frac{y(x + z)}{xyz} + \frac{x(y + z)}{xyz} = \frac{z(x + y) — y(x + z) + x(y + z)}{xyz}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$z(x + y) = zx + zy, \quad y(x + z) = yx + yz, \quad x(y + z) = xy + xz.$$

Теперь получаем:

$$\frac{zx + zy — yx — yz + xy + xz}{xyz}.$$

Перегруппируем и упростим выражение:

$$zx + xy + zy — yx — yz — xz = zx — xz + xy — yx + zy — yz = 0.$$

Таким образом, дробь сокращается до нуля:

$$\frac{0}{xyz} = 0.$$

Ответ:

$$0.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{3x + 1}{3xy} — \frac{2y + 1}{2xy} + \frac{3x — y}{6xy}.$$

Приведем все дроби к общему знаменателю $6xy$:

$$\frac{3x + 1}{3xy} = \frac{2(3x + 1)}{6xy}, \quad \frac{2y + 1}{2xy} = \frac{3(2y + 1)}{6xy}, \quad \frac{3x — y}{6xy} = \frac{3x — y}{6xy}.$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{2(3x + 1)}{6xy} — \frac{3(2y + 1)}{6xy} + \frac{3x — y}{6xy} = \frac{2(3x + 1) — 3(2y + 1) + (3x — y)}{6xy}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2(3x + 1) = 6x + 2, \quad 3(2y + 1) = 6y + 3.$$

Теперь получаем:

$$\frac{6x + 2 — 6y — 3 + 3x — y}{6xy} = \frac{9x — 7y — 1}{6xy}.$$

Ответ:

$$\frac{9x — 7y — 1}{6xy}.$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{c + b}{b^2c^2} — \frac{c}{b^2c^2}.$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $b^2c^2$, поэтому можем объединить их:

$$\frac{c + b}{b^2c^2} — \frac{c}{b^2c^2} = \frac{(c + b) — c}{b^2c^2} = \frac{b}{b^2c^2}.$$

Сократим множитель $b$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1}{bc^2}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{bc^2}.$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1 + b}{ab} + \frac{1 + a}{a^2b}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю, которым будет $a^2b$:

$$\frac{1 + b}{ab} = \frac{a(1 + b)}{a^2b}, \quad \frac{1 + a}{a^2b} = \frac{1 + a}{a^2b}.$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{a(1 + b)}{a^2b} + \frac{1 + a}{a^2b} = \frac{a(1 + b) + (1 + a)}{a^2b}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(1 + b) = a + ab, \quad 1 + a = 1 + a.$$

Теперь получаем:

$$\frac{a + ab + 1 + a}{a^2b} = \frac{2a + ab + 1}{a^2b}.$$

Ответ:

$$\frac{2a + ab + 1}{a^2b}.$$$\frac{1 + b}{ab} + \frac{1 + a}{a^2b} = \frac{2a + ab + 1}{a^2b}$