ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 528 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, если известно, что:
а) x_1 x_2=12, x_1^2+x_2^2=40;
б) x_1 x_2=-3, x_1^2+x_2^2=10.

а) $x_1 x_2 = 12$,
$x_1^2 + x_2^2 = 40$;

$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2x_1 x_2 =$$ $$= 40 + 2 \cdot 12 = 40 + 24 = 64.$$ $$(x_1 + x_2)^2 = 64$$ $$x_1 + x_2 = 8 \quad \text{или} \quad x_1 + x_2 = -8.$$

Уравнения:

$$x^2 — 8x + 12 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 8x + 12 = 0.$$

б) $x_1 x_2 = -3$,
$x_1^2 + x_2^2 = 10$;

$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2x_1 x_2 =$$ $$= 10 + 2 \cdot (-3) = 10 — 6 = 4.$$ $$(x_1 + x_2)^2 = 4$$ $$x_1 + x_2 = 2 \quad \text{или} \quad x_1 + x_2 = -2.$$

Уравнения:

$$x^2 — 2x — 3 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 2x — 3 = 0.$$

а) 
$x_1 x_2 = 12$,
$x_1^2 + x_2^2 = 40$;

Шаг 1: Используем формулу для квадрата суммы:

$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$$

Подставим известные значения:

$$x_1^2 + x_2^2 = 40, \quad x_1 x_2 = 12.$$

Тогда:

$$(x_1 + x_2)^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2x_1 x_2 = 40 + 2 \cdot 12 = 40 + 24 = 64.$$

Шаг 2: Найдем $x_1 + x_2$, взяв корень из 64:

$$x_1 + x_2 = \pm 8.$$

Значит, возможны два значения для суммы корней:

$$x_1 + x_2 = 8 \quad \text{или} \quad x_1 + x_2 = -8.$$

Шаг 3: Составим квадратные уравнения с найденной суммой корней:

Для $x_1 + x_2 = 8$:

$$x^2 — 8x + 12 = 0.$$

Для $x_1 + x_2 = -8$:

$$x^2 + 8x + 12 = 0.$$

Ответ для части а):
Уравнения:

$$x^2 — 8x + 12 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 8x + 12 = 0.$$

б) 
$x_1 x_2 = -3$,
$x_1^2 + x_2^2 = 10$;

Шаг 1: Используем формулу для квадрата суммы:

$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$$

Подставим известные значения:

$$x_1^2 + x_2^2 = 10, \quad x_1 x_2 = -3.$$

Тогда:

$$(x_1 + x_2)^2 = (x_1^2 + x_2^2) + 2x_1 x_2 = 10 + 2 \cdot (-3) = 10 — 6 = 4.$$

Шаг 2: Найдем $x_1 + x_2$, взяв корень из 4:

$$x_1 + x_2 = \pm 2.$$

Значит, возможны два значения для суммы корней:

$$x_1 + x_2 = 2 \quad \text{или} \quad x_1 + x_2 = -2.$$

Шаг 3: Составим квадратные уравнения с найденной суммой корней:

Для $x_1 + x_2 = 2$:

$$x^2 — 2x — 3 = 0.$$

Для $x_1 + x_2 = -2$:

$$x^2 + 2x — 3 = 0.$$

б):
Уравнения:

$$x^2 — 2x — 3 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 2x — 3 = 0.$$