ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 527 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корни которого:
а) на 2 меньше корней уравнения x^2-187x+148=0;
б) на 3 больше корней уравнения x^2+191x-1250=0.

а) $x^2 — 187x + 148 = 0$
Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое надо составить.

Тогда:
$y_1 = x_1 — 2; \quad y_2 = x_2 — 2;$
$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) — 4$
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 — 2)(x_2 — 2) = x_1 x_2 — 2(x_1 + x_2) + 4.$

Так как $x_1 x_2 = 148$; $x_1 + x_2 = 187$, то:
$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) — 4 = 187 — 4 = 183.$
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 — 2)(x_2 — 2) = x_1 x_2 — 2(x_1 + x_2) + 4 =$
$= 148 — 2 \cdot 187 + 4 = 148 — 374 + 4 = -222.$

Будет уравнение:
$x^2 — 183x — 222 = 0.$

б) $x^2 + 191x — 1250 = 0$
Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое надо составить.

Тогда:
$y_1 = x_1 + 3; \quad y_2 = x_2 + 3;$
$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + 6$
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1 x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9.$

Так как $x_1 x_2 = -1250$; $x_1 + x_2 = -191$, то:
$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + 6 = -191 + 6 = -185.$
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1 x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 =$
$= -1250 + 3(-191) + 9 = -1250 — 573 + 9 = -1814.$

Будет уравнение:
$x^2 + 185x — 1814 = 0.$

а)$x^2 — 187x + 148 = 0$:

Дано уравнение $x^2 — 187x + 148 = 0$. Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое нужно составить.

Изменим переменные, заменив $x_1$ и $x_2$ на $y_1$ и $y_2$ через сдвиг:

$$y_1 = x_1 — 2, \quad y_2 = x_2 — 2.$$

Рассмотрим сумму корней $y_1 + y_2$. Сумма корней $y_1$ и $y_2$ будет равна сумме корней $x_1$ и $x_2$ минус 4, так как каждый корень сдвигается на 2:

$$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) — 4.$$

Рассмотрим произведение корней $y_1 \cdot y_2$. Используя формулу для произведения, получаем:

$$y_1 \cdot y_2 = (x_1 — 2)(x_2 — 2) = x_1 x_2 — 2(x_1 + x_2) + 4.$$

Это выражение позволит нам выразить $y_1 \cdot y_2$ через известные значения $x_1 x_2$ и $x_1 + x_2$.

Подставим значения $x_1 x_2 = 148$ и $x_1 + x_2 = 187$ в полученные формулы для суммы и произведения корней $y_1$ и $y_2$:

Сумма корней:

$$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) — 4 = 187 — 4 = 183.$$

Произведение корней:

$$y_1 \cdot y_2 = (x_1 — 2)(x_2 — 2) = x_1 x_2 — 2(x_1 + x_2) + 4 = 148 — 2 \cdot 187 + 4 = 148 — 374 + 4 = -222.$$

Таким образом, мы составили новое уравнение, корни которого равны $y_1$ и $y_2$:

$$x^2 — 183x — 222 = 0.$$

Ответ: $x^2 — 183x — 222 = 0.$

б) $x^2 + 191x — 1250 = 0$:

Дано уравнение $x^2 + 191x — 1250 = 0$. Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое нужно составить.

Изменим переменные, заменив $x_1$ и $x_2$ на $y_1$ и $y_2$ через сдвиг:

$$y_1 = x_1 + 3, \quad y_2 = x_2 + 3.$$

Рассмотрим сумму корней $y_1 + y_2$. Сумма корней $y_1$ и $y_2$ будет равна сумме корней $x_1$ и $x_2$ плюс 6, так как каждый корень сдвигается на 3:

$$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + 6.$$

Рассмотрим произведение корней $y_1 \cdot y_2$. Используя формулу для произведения, получаем:

$$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1 x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9.$$

Это выражение позволит нам выразить $y_1 \cdot y_2$ через известные значения $x_1 x_2$ и $x_1 + x_2$.

Подставим значения $x_1 x_2 = -1250$ и $x_1 + x_2 = -191$ в полученные формулы для суммы и произведения корней $y_1$ и $y_2$:

Сумма корней:

$$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + 6 = -191 + 6 = -185.$$

Произведение корней:

$$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1 x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 = -1250 + 3(-191) + 9 = -1250 — 573 + 9 = -1814.$$

Таким образом, мы составили новое уравнение, корни которого равны $y_1$ и $y_2$:

$$x^2 + 185x — 1814 = 0.$$

Ответ: $x^2 + 185x — 1814 = 0.$