ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 526 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все целые положительные значения q, при которых данное уравнение имеет целые корни:
а) x^2+5x+q=0;
б) x^2+6x+q=0.
Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых указанные уравнения имеют целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q

а) $x^2 + 5x + q = 0$
Так как $q > 0$, то корни должны иметь один и тот же знак.
Сумма корней равна $(-5)$, тогда оба корня отрицательные.
Все пары целых чисел, сумма которых равна $(-5)$:
$-5 = (-4) + (-1) = (-2) + (-3)$.
Тогда значения $q$ равны: $4$ и $6$.

Если $q < 0$, то корни должны иметь разные знаки.
Тогда пары целых чисел, сумма которых равна $(-5)$:
$-5 = -6 + 1 = -7 + 2 = -8 + 3 = \ldots$
Значения $q$ равны: $-6$; $-14$; $-24 \ldots$ — все такие значения $q$ невозможно перечислить.

б) $x^2 + 6x + q = 0$
Так как $q > 0$, то корни должны иметь один и тот же знак.
Сумма корней равна $(-6)$, тогда оба корня отрицательные.
Все пары целых чисел, сумма которых равна $(-6)$:
$-6 = (-5) + (-1) = (-4) + (-2) = (-3) + (-3)$.
Тогда значения $q$ равны: $5$; $8$; $9$.

Если $q < 0$, то корни должны иметь разные знаки.
Тогда пары целых чисел, сумма которых равна $(-6)$:
$-6 = -7 + 1 = -8 + 2 = -9 + 3 = \ldots$
Значения $q$ равны: $-7$; $-16$; $-27 \ldots$ — все такие значения $q$ невозможно перечислить.

а) Решение для уравнения $x^2 + 5x + q = 0$:

Рассмотрим уравнение $x^2 + 5x + q = 0$.

Мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения равна $-5$, поскольку она равна противоположному знаку коэффициента при $x$ в уравнении. Таким образом:

$$x_1 + x_2 = -5.$$

Если $q > 0$, то корни уравнения должны быть одного и того же знака. Поскольку их сумма равна $-5$, оба корня должны быть отрицательными. Теперь найдем все пары целых чисел, сумма которых равна $-5$:

$$-5 = (-4) + (-1) = (-2) + (-3).$$

Для каждой пары целых чисел $(a, b)$, таких что $a + b = -5$, значение $q$ вычисляется как произведение этих чисел $a \cdot b$, поскольку по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно $q$. Поэтому:

Для пары $(-4)$ и $(-1)$, значение $q$ равно:

$$q = (-4) \cdot (-1) = 4.$$

Для пары $(-2)$ и $(-3)$, значение $q$ равно:

$$q = (-2) \cdot (-3) = 6.$$

Таким образом, если $q > 0$, то значения $q$ равны $4$ и $6$.

Теперь рассмотрим случай, когда $q < 0$. В этом случае корни должны иметь разные знаки, то есть один из них положительный, а другой отрицательный. Для таких корней сумма остается $-5$, и рассмотрим все пары целых чисел, сумма которых равна $-5$:

$$-5 = -6 + 1 = -7 + 2 = -8 + 3 = \ldots.$$

Для каждой из этих пар значения $q$ можно вычислить как произведение чисел $a \cdot b$, где $a + b = -5$. Пара $(-6)$ и $1$ дает:

$$q = (-6) \cdot 1 = -6.$$

Пара $(-7)$ и $2$ дает:

$$q = (-7) \cdot 2 = -14.$$

Пара $(-8)$ и $3$ дает:

$$q = (-8) \cdot 3 = -24.$$

И так далее.

Поскольку чисел, которые могут быть парами целых чисел с суммой $-5$, бесконечно много, то значений $q$ будет бесконечно много: $-6, -14, -24 \dots$.

Ответ:
Если $q > 0$, то $q$ принимает значения $4$ и $6$.
Если $q < 0$, то $q$ принимает значения $-6, -14, -24 \dots$.

б) Решение для уравнения $x^2 + 6x + q = 0$:

Рассмотрим уравнение $x^2 + 6x + q = 0$.

Мы знаем, что сумма корней квадратного уравнения равна $-6$, поскольку она равна противоположному знаку коэффициента при $x$. Таким образом:

$$x_1 + x_2 = -6.$$

Если $q > 0$, то корни уравнения должны быть одного и того же знака. Поскольку их сумма равна $-6$, оба корня должны быть отрицательными. Теперь найдем все пары целых чисел, сумма которых равна $-6$:

$$-6 = (-5) + (-1) = (-4) + (-2) = (-3) + (-3).$$

Для каждой пары целых чисел $(a, b)$, таких что $a + b = -6$, значение $q$ вычисляется как произведение этих чисел $a \cdot b$, поскольку по теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно $q$. Поэтому:

Для пары $(-5)$ и $(-1)$, значение $q$ равно:

$$q = (-5) \cdot (-1) = 5.$$

Для пары $(-4)$ и $(-2)$, значение $q$ равно:

$$q = (-4) \cdot (-2) = 8.$$

Для пары $(-3)$ и $(-3)$, значение $q$ равно:

$$q = (-3) \cdot (-3) = 9.$$

Таким образом, если $q > 0$, то значения $q$ равны $5$, $8$ и $9$.

Теперь рассмотрим случай, когда $q < 0$. В этом случае корни должны иметь разные знаки, то есть один из них положительный, а другой отрицательный. Для таких корней сумма остается $-6$, и рассмотрим все пары целых чисел, сумма которых равна $-6$:

$$-6 = -7 + 1 = -8 + 2 = -9 + 3 = \ldots.$$

Для каждой из этих пар значения $q$ можно вычислить как произведение чисел $a \cdot b$, где $a + b = -6$. Пара $(-7)$ и $1$ дает:

$$q = (-7) \cdot 1 = -7.$$

Пара $(-8)$ и $2$ дает:

$$q = (-8) \cdot 2 = -16.$$

Пара $(-9)$ и $3$ дает:

$$q = (-9) \cdot 3 = -27.$$

И так далее.

Поскольку чисел, которые могут быть парами целых чисел с суммой $-6$, бесконечно много, то значений $q$ будет бесконечно много: $-7, -16, -27 \dots$.

Ответ:
Если $q > 0$, то $q$ принимает значения $5$, $8$ и $9$.
Если $q < 0$, то $q$ принимает значения $-7, -16, -27 \dots$.