ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 521 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то ответьте на следующие вопросы: 1) Сколько корней имеет уравнение? 2) Рациональными или иррациональными явялются его корни? 3) Каковы знаки корней? 4) Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший модуль?
а) 3x^2+7x+2=0;
б) 3y^2-8y+2=0;
в) 4x^2-11x-3=0;
г) -8z^2-2z+3=0;
д) 5x^2-3x+1=0;
е) -6z^2+11z-3=0;
ж) -2y^2+4y-3=0;
з) 2x^2-10x-5=0.

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$
$D = 49 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 > 0.$
$x_1 x_2 = \frac{2}{3}; \quad x_1 + x_2 = -\frac{7}{3}.$
$x_1 < 0, \quad x_2 < 0.$

два корня;

рациональные;

корни отрицательные.

б) $3y^2 — 8y + 2 = 0$
$D = 64 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 40 > 0.$
$y_1 y_2 = \frac{2}{3}; \quad y_1 + y_2 = \frac{8}{3}.$
$y_1 > 0, \quad y_2 > 0.$

два корня;

иррациональные;

корни положительные.

в) $4x^2 — 11x — 3 = 0$
$D = 121 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 > 0.$
$x_1 x_2 = -\frac{3}{4}; \quad x_1 + x_2 = \frac{11}{4}.$
$x_1 < 0, \quad x_2 > 0.$

два корня;

рациональные;

корни разных знаков;

$|x_2| > |x_1|.$

г) $-8z^2 — 2z + 3 = 0$
$D = 4 + 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 > 0.$
$z_1 z_2 = -\frac{3}{8}; \quad z_1 + z_2 = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}.$
$z_1 < 0, \quad z_2 > 0.$

два корня;

рациональные;

корни разных знаков;

$|z_1| > |z_2|.$

д) $5x^2 — 3x + 1 = 0$
$D = 9 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = -11 < 0.$

корней нет.

е) $-6z^2 + 11z — 3 = 0$
$D = 121 — 4 \cdot 6 \cdot 3 = 49 > 0.$
$z_1 z_2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}; \quad z_1 + z_2 = \frac{11}{6}.$
$z_1 > 0, \quad z_2 > 0.$

два корня;

рациональные;

корни положительные.

ж) $-2y^2 + 4y — 3 = 0$
$D = 16 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = -8 < 0.$

корней нет.

з) $2x^2 — 10x — 5 = 0$
$D = 25 + 2 \cdot 5 = 35 > 0.$
$x_1 x_2 = -\frac{5}{2}; \quad x_1 + x_2 = \frac{10}{2} = 5.$
$x_1 > 0, \quad x_2 < 0.$

два корня;

иррациональные;

корни разных знаков;

$|x_1| > |x_2|.$

а) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

1. Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25 > 0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{6} = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-7 — \sqrt{25}}{6} = \frac{-7 — 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$

Теперь определим, какие корни положительные, а какие отрицательные:

$x_1 = -\frac{1}{3}$ (отрицательное число)

$x_2 = -2$ (отрицательное число)

Ответ:

два корня: $x_1 = -\frac{1}{3}, \, x_2 = -2$

рациональные корни

оба корня отрицательные

б) $3y^2 — 8y + 2 = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 64 — 24 = 40 > 0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$y_1 = \frac{8 + \sqrt{40}}{6}, \quad y_2 = \frac{8 — \sqrt{40}}{6}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{40} \approx 6.32$$

Подставим:

$$y_1 = \frac{8 + 6.32}{6} = \frac{14.32}{6} \approx 2.39, \quad y_2 = \frac{8 — 6.32}{6} = \frac{1.68}{6} \approx 0.28$$

Определим знак корней:

$y_1 \approx 2.39$ (положительное число)

$y_2 \approx 0.28$ (положительное число)

Ответ:

два корня: $y_1 \approx 2.39, \, y_2 \approx 0.28$

иррациональные корни

оба корня положительные

в) $4x^2 — 11x — 3 = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-11)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 > 0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{8}, \quad x_2 = \frac{11 — \sqrt{169}}{8}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{169} = 13$$

Подставим:

$$x_1 = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3, \quad x_2 = \frac{11 — 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$

Определим знак корней:

$x_1 = 3$ (положительное число)

$x_2 = -\frac{1}{4}$ (отрицательное число)

Ответ:

два корня: $x_1 = 3, \, x_2 = -\frac{1}{4}$

рациональные корни

корни разных знаков

$|x_1| > |x_2|$

г) $-8z^2 — 2z + 3 = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot (-8) \cdot 3 = 4 + 96 = 100 > 0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad z_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$z_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{-16}, \quad z_2 = \frac{2 — \sqrt{100}}{-16}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{100} = 10$$

Подставим:

$$z_1 = \frac{2 + 10}{-16} = \frac{12}{-16} = -\frac{3}{4}, \quad z_2 = \frac{2 — 10}{-16} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$$

Определим знак корней:

$z_1 = -\frac{3}{4}$ (отрицательное число)

$z_2 = \frac{1}{2}$ (положительное число)

Ответ:

два корня: $z_1 = -\frac{3}{4}, \, z_2 = \frac{1}{2}$

рациональные корни

корни разных знаков

$|z_1| > |z_2|$

д) $5x^2 — 3x + 1 = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 — 20 = -11 < 0$$

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

е) $-6z^2 + 11z — 3 = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 11^2 — 4 \cdot (-6) \cdot (-3) = 121 — 72 = 49 > 0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad z_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$z_1 = \frac{-11 + \sqrt{49}}{-12}, \quad z_2 = \frac{-11 — \sqrt{49}}{-12}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{49} = 7$$

Подставим:

$$z_1 = \frac{-11 + 7}{-12} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}, \quad z_2 = \frac{-11 — 7}{-12} = \frac{-18}{-12} = \frac{3}{2}$$

Определим знак корней:

$z_1 = \frac{1}{3}$ (положительное число)

$z_2 = \frac{3}{2}$ (положительное число)

Ответ:

два корня: $z_1 = \frac{1}{3}, \, z_2 = \frac{3}{2}$

рациональные корни

оба корня положительные

ж) $-2y^2 + 4y — 3 = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 16 — 24 = -8 < 0$$

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

з) $2x^2 — 10x — 5 = 0$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 100 + 40 = 140 > 0$$

Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Используем формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{10 + \sqrt{140}}{4}, \quad x_2 = \frac{10 — \sqrt{140}}{4}$$

Примерное вычисление:

$$\sqrt{140} \approx 11.83$$

Подставим:

$$x_1 = \frac{10 + 11.83}{4} = \frac{21.83}{4} \approx 5.46, \quad x_2 = \frac{10 — 11.83}{4} = \frac{-1.83}{4} \approx -0.46$$

3. Определим знак корней:

• $x_1 \approx 5.46$ (положительное число)
• $x_2 \approx -0.46$ (отрицательное число)

Ответ:

• два корня: $x_1 \approx 5.46, \, x_2 \approx -0.46$
• иррациональные корни
• корни разных знаков
• $|x_1| > |x_2|$