ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 515 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни разных знаков. Определите, какой из корней больше по модулю — положительный или отрицательный:
а) x^2+5x-6=0;
б) x^2-5x-6=0;
в) x^2+4x-21=0;
г) x^2-4x-21=0;
д) x^2-2x-3=0;
е) x^2+2x-3=0.

a) $x^2+5x-6=0$
$x_1{x}_2=-6;x_1+x_2=-5\Rightarrow x_1<0$ и $x_2>0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

б) $x^2-5x-6=0$
$x_1{x}_2=-6;x_1+x_2=5\Rightarrow x_1>0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет положительное число, если модуль положительного числа больше модуля отрицательного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

в) $x^2+4x-21=0$
$x_1{x}_2=-21;x_1+x_2=-4\Rightarrow x_1<0$ и $x_2>0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

г) $x^2-4x-21=0$
$x_1{x}_2=-21;x_1+x_2=4\Rightarrow x_1>0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет положительное число, если модуль положительного числа больше модуля отрицательного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

д) $x^2-2x-3=0$
$x_1{x}_2=-3;x_1+x_2=2\Rightarrow x_1>0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет положительное число, если модуль положительного числа больше модуля отрицательного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

e) $x^2+2x-3=0$
$x_1{x}_2=-3;x_1+x_2=-2\Rightarrow x_1<0$ и $x_2>0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

a)

$$x^2+5x-6=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=-6$

Сумма корней: $x_1+x_2=-5$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение также будет положительным, но сумма будет больше нуля.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, а сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=-5$ — это отрицательное число, следовательно, один корень $x_1$ отрицателен, а другой корень $x_2$ положителен.

Поскольку $x_1{x}_2=-6$ — это отрицательное произведение, значит один корень должен быть отрицательным, а второй положительным.

Дальше, так как $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$, мы можем утверждать, что:

$$x_1<0\text{и}{x}_2>0$$

Ответ: $x_1<0$ и $x_2>0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

б) Уравнение:

$$x^2-5x-6=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=-6$

Сумма корней: $x_1+x_2=5$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, и сумма тоже будет положительной.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, но сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=5$ — это положительное число, следовательно, один корень $x_1$ положителен, а другой корень $x_2$ отрицателен.

Поскольку $x_1{x}_2=-6$ — это отрицательное произведение, значит один корень должен быть положительным, а второй отрицательным.

Дальше, так как $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$, мы можем утверждать, что:

$$x_1>0\text{и}{x}_2<0$$

Ответ: $x_1>0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет положительное число, если модуль положительного числа больше модуля отрицательного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

в)

$$x^2+4x-21=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=-21$

Сумма корней: $x_1+x_2=-4$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, и сумма будет положительной.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным (так как произведение двух отрицательных чисел положительно), а сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=-4$ — это отрицательное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть отрицательными.

Поскольку $x_1{x}_2=-21$ — это отрицательное произведение, значит один корень должен быть отрицательным, а второй положительным.

Дальше, так как $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$, мы можем утверждать, что:

$$x_1<0\text{и}{x}_2>0$$

Ответ: $x_1<0$ и $x_2>0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

г)

$$x^2-4x-21=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=-21$

Сумма корней: $x_1+x_2=4$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, и сумма будет положительной.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, но сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=4$ — это положительное число, следовательно, один корень $x_1$ положителен, а второй корень $x_2$ отрицателен.

Поскольку $x_1{x}_2=-21$ — это отрицательное произведение, значит один корень должен быть положительным, а второй отрицательным.

Дальше, так как $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$, мы можем утверждать, что:

$$x_1>0\text{и}{x}_2<0$$

Ответ: $x_1>0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет положительное число, если модуль положительного числа больше модуля отрицательного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

д)

$$x^2-2x-3=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=-3$

Сумма корней: $x_1+x_2=2$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, и сумма будет положительной.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, но сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=2$ — это положительное число, следовательно, один корень $x_1$ положителен, а второй корень $x_2$ отрицателен.

Поскольку $x_1{x}_2=-3$ — это отрицательное произведение, значит один корень должен быть положительным, а второй отрицательным.

Дальше, так как $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$, мы можем утверждать, что:

$$x_1>0\text{и}{x}_2<0$$

Ответ: $x_1>0$ и $x_2<0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет положительное число, если модуль положительного числа больше модуля отрицательного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.

e)

$$x^2+2x-3=0$$

Для нахождения корней используем формулы:

Произведение корней: $x_1{x}_2=-3$

Сумма корней: $x_1+x_2=-2$

Рассмотрим, какие знаки могут иметь $x_1$ и $x_2$.

• Если оба корня положительные, то их произведение будет положительным, но сумма будет больше нуля.
• Если оба корня отрицательные, то их произведение будет положительным, а сумма будет отрицательной.

Так как $x_1+x_2=-2$ — это отрицательное число, следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть отрицательными.

Поскольку $x_1{x}_2=-3$ — это отрицательное произведение, значит один корень должен быть отрицательным, а второй положительным.

Дальше, так как $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$, мы можем утверждать, что:

$$x_1<0\text{и}{x}_2>0$$

Ответ: $x_1<0$ и $x_2>0$, так как при умножении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, а при сложении двух чисел с разными знаками будет отрицательное число, если модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа, то есть $\mathrm{\mid }{x}_1\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{x}_2\mathrm{\mid }$.