ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 511 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 19 больше удвоенного меньшего из них. Найдите эти числа.
б) Сумма квадратов двух последовательных положительных четных чисел на 72 больше удвоенной суммы этих чисел. Найдите эти числа.

a) Пусть даны два последовательных натуральных числа:
$n$ и $n+1$.

Составим уравнение:

$$n^2+(n+1{)}^2-19=2n$$

$$$$$$n^2+n^2+2n+1-19-2n=0$$

$$$$$$2n^2-18=0$$

$$$$$$2n^2=18$$

$$$$$$n^2=9$$

$$$$$$n=3\text{— первое число; }n=-3\text{— не подходит.}$$$$n+1=3+1=4\text{— второе число.}$$

Ответ: 3 и 4.

б) Пусть даны два последовательных положительных четных числа: $n$ и $n+2$.

Составим уравнение:

$$n^2+(n+2{)}^2-72=2(n+n+2)$$

$$$$$$n^2+n^2+4n+4-72=2(2n+2)$$

$$$$$$2n^2+4n-68-4n-4=0$$

$$$$$$2n^2-72=0$$

$$$$$$2n^2=72$$

$$$$$$n^2=36$$

$$$$$$n=6\text{— первое число; }n=-6\text{— не подходит.}$$

$$$$$$n+2=6+2=8\text{— второе число.}$$

Ответ: 6 и 8.

a) Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$.

Составим уравнение:

Исходное уравнение:

$$n^2+(n+1{)}^2-19=2n$$

Раскроем скобки в первом и втором слагаемых:

$$n^2+(n+1{)}^2=n^2+(n^2+2n+1)$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$n^2+n^2+2n+1-19=2n$$

Упростим уравнение:

$$2n^2+2n+1-19=2n$$

Уберем все члены, содержащие $2n$, с правой стороны уравнения:

$$2n^2+2n+1-19-2n=0$$$$2n^2-18=0$$

Переносим 18 на правую сторону:

$$2n^2=18$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$n^2=9$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$n=3\text{или}n=-3$$

Так как $n$ — натуральное число, то отрицательный корень не подходит. Оставляем $n=3$.

Подставим значение $n=3$ в $n+1$:

$$n+1=3+1=4$$

Ответ: $x=3$ и $x=4$.

б) Пусть даны два последовательных положительных четных числа: $n$ и $n+2$.

Составим уравнение:

Исходное уравнение:

$$n^2+(n+2{)}^2-72=2(n+n+2)$$

Раскроем скобки в обоих слагаемых:

$$n^2+(n+2{)}^2=n^2+(n^2+4n+4)$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$n^2+n^2+4n+4-72=2(2n+2)$$

Упростим правую часть уравнения:

$$2(2n+2)=4n+4$$

Подставим это в уравнение:

$$n^2+n^2+4n+4-72=4n+4$$

Упростим уравнение:

$$2n^2+4n+4-72=4n+4$$

Упростим левую часть:

$$2n^2+4n-68=4n+4$$

Переносим все члены, содержащие $4n$, с правой стороны:

$$2n^2-68-4=0$$$$2n^2-72=0$$

Переносим $-72$ на правую сторону:

$$2n^2=72$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$n^2=36$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$n=6\text{или}n=-6$$

Так как $n$ — положительное четное число, то $n=-6$ не подходит.

Подставим значение $n=6$ в $n+2$:

$$n+2=6+2=8$$

Ответ: $x=6$ и $x=8$.