ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 51 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите сумму и разность дробей.

а) $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{a+b}$;

б) $\frac{a+1}{a-1}$ и $\frac{a-1}{a+1}$;

в) $\frac{p-q}{p+q}$ и $\frac{p+q}{p-q}$;

г) $\frac{m}{m+4}$ и $\frac{m}{m-4}$.

а)$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}=\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b+a-b}{(a-b)(a+b)}=\frac{2a}{a^2-b^2}$

$\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}=\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}-\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b-a+b}{a^2-b^2}=\frac{2b}{a^2-b^2}$

б)$\frac{a+1}{a-1}+\frac{a-1}{a+1}=\frac{(a+1{)}^2}{(a-1)(a+1)}+\frac{(a-1{)}^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1{)}^2+(a-1{)}^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{a^2+2a+1+a^2-2a+1}{a^2-1}=$

$\frac{2a^2+2}{a^2-1}$

$\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}=\frac{(a+1{)}^2}{(a-1)(a+1)}-\frac{(a-1{)}^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1{)}^2-(a-1{)}^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{a^2+2a+1-a^2+2a-1}{a^2-1}=$

$\frac{4a}{a^2-1}$

в)$\frac{p-q}{p+q}+\frac{p+q}{p-q}=\frac{(p-q{)}^2}{(p+q)(p-q)}+\frac{(p+q{)}^2}{(p+q)(p-q)}=\frac{(p-q{)}^2+(p+q{)}^2}{p^2-q^2}=\frac{p^2-2pq+q^2+p^2+2pq+q^2}{p^2-q^2}=$

$\frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}$

$\frac{p-q}{p+q}-\frac{p+q}{p-q}=\frac{(p-q{)}^2}{(p+q)(p-q)}-\frac{(p+q{)}^2}{(p+q)(p-q)}=\frac{(p-q{)}^2-(p+q{)}^2}{p^2-q^2}=\frac{p^2-2pq+q^2-p^2-2pq-q^2}{p^2-q^2}=$

$\frac{-4pq}{p^2-q^2}$

г)$\frac{m}{m+4}+\frac{m}{m-4}=\frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)}+\frac{m(m+4)}{(m+4)(m-4)}=\frac{m(m-4)+m(m+4)}{(m+4)(m-4)}=\frac{m^2-4m+m^2+4m}{m^2-16}=$

$\frac{2m^2}{m^2-16}$

$\frac{m}{m+4}-\frac{m}{m-4}=\frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)}-\frac{m(m+4)}{(m+4)(m-4)}=\frac{m(m-4)-m(m+4)}{(m+4)(m-4)}=\frac{m^2-4m-m^2-4m}{m^2-16}=$

$\frac{-8m}{m^2-16}$

а)

$$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}$$

Шаг 1. Найдём общий знаменатель:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Шаг 2. Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a-b}=\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$$

$$\frac{1}{a+b}=\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}$$

Шаг 3. Сложим дроби:

$$\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b+a-b}{a^2-b^2}=\frac{2a}{a^2-b^2}$$

$$\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}$$

Шаг 1. Общий знаменатель тот же:

$a^2-b^2$

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{1}{a-b}=\frac{a+b}{a^2-b^2}$$

$$\frac{1}{a+b}=\frac{a-b}{a^2-b^2}$$

Шаг 3. Вычтем дроби:

$$\frac{a+b}{a^2-b^2}-\frac{a-b}{a^2-b^2}=\frac{a+b-(a-b)}{a^2-b^2}=\frac{a+b-a+b}{a^2-b^2}=\frac{2b}{a^2-b^2}$$

б)

$$\frac{a+1}{a-1}+\frac{a-1}{a+1}$$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$$(a-1)(a+1)=a^2-1$$

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a+1{)}^2}{a^2-1}$$

$$\frac{a-1}{a+1}=\frac{(a-1{)}^2}{a^2-1}$$

Шаг 3. Сложим дроби:

$$\frac{(a+1{)}^2+(a-1{)}^2}{a^2-1}$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$(a+1{)}^2=a^2+2a+1$$

$$(a-1{)}^2=a^2-2a+1$$

Шаг 5. Сложим числители:

$$a^2+2a+1+a^2-2a+1=2a^2+2$$

Шаг 6. Получаем итог:

$$\frac{2a^2+2}{a^2-1}$$

$$\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}$$

Шаг 1. Приведём дроби как выше.

Шаг 2. Вычтем дроби:

$$\frac{(a+1{)}^2-(a-1{)}^2}{a^2-1}$$

Шаг 3. Используем формулу разности квадратов:

$$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$$

Здесь

$$A=a+1,B=a-1$$

Шаг 4. Вычислим:

$$(a+1)-(a-1)=2$$

$$(a+1)+(a-1)=2a$$

Шаг 5. Произведение:

$$2\times 2a=4a$$

Шаг 6. Получаем итог:

$$\frac{4a}{a^2-1}$$

в)

$$\frac{p-q}{p+q}+\frac{p+q}{p-q}$$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$$(p+q)(p-q)=p^2-q^2$$

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{(p-q{)}^2}{p^2-q^2}+\frac{(p+q{)}^2}{p^2-q^2}=\frac{(p-q{)}^2+(p+q{)}^2}{p^2-q^2}$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$(p-q{)}^2=p^2-2pq+q^2$$

$$(p+q{)}^2=p^2+2pq+q^2$$

Шаг 4. Сложим:

$$p^2-2pq+q^2+p^2+2pq+q^2=2p^2+2q^2$$

Шаг 5. Итог:

$$\frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2}$$

$$\frac{p-q}{p+q}-\frac{p+q}{p-q}$$

Шаг 1. Приведём дроби:

$$\frac{(p-q{)}^2}{p^2-q^2}-\frac{(p+q{)}^2}{p^2-q^2}=\frac{(p-q{)}^2-(p+q{)}^2}{p^2-q^2}$$

Шаг 2. Раскроем скобки (как выше).

Шаг 3. Вычтем:

$$(p^2-2pq+q^2)-(p^2+2pq+q^2)=-4pq$$

Шаг 4. Итог:

$$\frac{-4pq}{p^2-q^2}$$

г)

$$\frac{m}{m+4}+\frac{m}{m-4}$$

Шаг 1. Общий знаменатель:

$$(m+4)(m-4)=m^2-16$$

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{m(m-4)}{m^2-16}+\frac{m(m+4)}{m^2-16}=\frac{m(m-4)+m(m+4)}{m^2-16}$$

Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:

$$m^2-4m+m^2+4m=2m^2$$

Шаг 4. Итог:

$$\frac{2m^2}{m^2-16}$$

$$\frac{m}{m+4}-\frac{m}{m-4}$$

Шаг 1. Аналогично приведём дроби и выполним вычитание:

$$\frac{m(m-4)-m(m+4)}{m^2-16}$$

Шаг 2. Раскроем скобки числителя:

$$m^2-4m-m^2-4m=-8m$$

Шаг 3. Итог:

$$\frac{-8m}{m^2-16}$$