ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 508 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Имеет ли решение неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:

а) $a > 0, \, c > 0$;

б) $a > 0, \, c < 0$;

в) $a < 0, \, c > 0$;

г) $a < 0, \, c < 0$?

а)

$$a>0,c>0;$$

$$$$$$a{x}^2+c=0$$

$$$$$$a{x}^2=-c\text{— корней нет.}$$

б)

$$a>0,c<0;$$

$$$$$$a{x}^2-c=0$$

$$$$$$a{x}^2=c\text{— есть решение.}$$

в)

$$a<0,c>0;$$

$$$$$$-a{x}^2+c=0$$

$$$$$$a{x}^2=c\text{— есть решение.}$$

г)

$$a<0,c<0;$$

$$$$$$-a{x}^2-c=0$$

$$$$$$a{x}^2=-c\text{— корней нет.}$$

а) $$a>0,c>0;$$

$$$$$$a{x}^2+c=0$$

Переносим $c$ на правую сторону:

$$a{x}^2=-c$$

Поскольку $a>0$ и $c>0$, то $-c$ обязательно отрицательно.

Анализ уравнения:
У нас получается выражение $a{x}^2=-c$, где $x^2$ всегда неотрицательное (так как квадрат любого числа всегда неотрицателен). Следовательно, $x^2$ не может быть равно отрицательному числу $-c$, так как на левой стороне всегда положительное число.

Вывод:
Таким образом, уравнение не имеет решения.

Ответ: корней нет.

б)$$a>0,c<0;$$$$a{x}^2-c=0$$

Переносим $-c$ на правую сторону:

$$a{x}^2=c$$

Поскольку $a>0$ и $c<0$, то правая сторона уравнения $c$ отрицательна, а левая сторона $a{x}^2$ всегда неотрицательна. Следовательно, $a{x}^2=c$ может иметь решение, так как обе стороны будут равны, но это будет возможно только в том случае, если $c$ также будет отрицательным.

Решение уравнения:
Поскольку обе стороны уравнения могут быть равными, решение существует и оно будет иметь смысл в виде:

$$x^2=\frac{c}{a}$$

где $c$ отрицательно, следовательно, у нас будет решение, если извлечь квадратный корень из отрицательного числа, так как $x$ может быть комплексным.

Ответ: есть решение.

в) $$a<0,c>0;$$

$$$$$$-a{x}^2+c=0$$

Переносим $c$ на правую сторону:

$$-a{x}^2=-c$$

Умножаем обе стороны на $-1$ (чтобы избавиться от минуса слева):

$$a{x}^2=c$$

Теперь, поскольку $a<0$ и $c>0$, правая сторона $c$ положительна, и левая сторона $a{x}^2$ также может быть положительной, так как $x^2\ge 0$.

Решение уравнения:
Получается выражение $a{x}^2=c$, которое имеет решение, так как обе стороны уравнения могут быть равными:

$$x^2=\frac{c}{a}$$

Так как $a<0$ и $c>0$, решение будет возможным, и $x$ может быть выражен как:

$$x=\pm \sqrt{\frac{c}{a}}$$

Ответ: есть решение.

г) $$a<0,c<0;$$$$-a{x}^2-c=0$$

Переносим $-c$ на правую сторону:

$$-a{x}^2=c$$

Умножаем обе стороны на $-1$ (чтобы избавиться от минуса слева):

$$a{x}^2=-c$$

Теперь, поскольку $a<0$ и $c<0$, правая сторона $-c$ будет положительной (так как минус из $c$ делает его положительным), а левая сторона $a{x}^2$ может быть отрицательной, так как $a<0$.

Анализ решения:
В данном случае $a{x}^2$ не может быть равно положительному числу $-c$, так как $a{x}^2$ будет отрицательным, а $-c$ — положительным. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.