ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 505 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $(x^2 — 1)^3 + 2(x^2 — 1)^2 = 0$;

б) $x^2(x — 1) — 3x(x — 1) = 0$;

в) $x^2(x^2 — 3)^2 — 4(x^2 — 3) = 0$;

г) $x^2(x — 5)^2 — 5(x — 5)^2 = 0$.

а) $(x^2 — 1)^3 + 2(x^2 — 1)^2 = 0$

$(x^2 — 1)^2(x^2 — 1 + 2) = 0$

$(x^2 — 1)^2(x^2 + 1) = 0$

$(x^2 — 1)^2 = 0 \quad x^2 + 1 = 0$

$x^2 — 1 = 0 \quad x^2 = -1$ — корней нет.

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

б) $x^2(x — 1) — 3x(x — 1) = 0$

$(x — 1)(x^2 — 3x) = 0$

$x — 1 = 0 \quad x^2 — 3x = 0$

$x = 1 \quad x(x — 3) = 0$

$x = 0, \quad x — 3 = 0$

$x = 0, \quad x = 3$.

Ответ: $x = 0; \, x = 1; \, x = 3$.

в) $x^2(x^2 — 3)^2 — 4(x^2 — 3) = 0$

$(x^2 — 3)(x^2(x^2 — 3) — 4) = 0$

$(x^2 — 3)(x^4 — 3x^2 — 4) = 0$

$x^2 — 3 = 0 \quad x^4 — 3x^2 — 4 = 0$

$x^2 = 3 \quad \text{замена: } x^2 = y$

$x = \pm \sqrt{3} \quad y^2 — 3y — 4 = 0$

$D = 9 + 4 \cdot 4 = 25 = \sqrt{25} = 5$.

$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1; \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4.$

Тогда:

$x^2 = -1$ — корней нет;

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{3}; \, x = \pm 2$.

г) $x^2(x — 5)^2 — 5(x — 5)^2 = 0$

$(x — 5)^2(x^2 — 5) = 0$

$x — 5 = 0 \quad x^2 — 5 = 0$

$x = 5 \quad x^2 = 5$

$x = \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{5}; \, x = 5$.

а) $(x^2 — 1)^3 + 2(x^2 — 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 — 1)^2$:

$$(x^2 — 1)^2 \left( (x^2 — 1) + 2 \right) = 0$$

Упрощаем выражение в скобках:

$$(x^2 — 1)^2 (x^2 + 1) = 0$$

У нас два возможных случая:

$(x^2 — 1)^2 = 0$

$x^2 + 1 = 0$

Рассмотрим первый случай:

$$(x^2 — 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Рассмотрим второй случай:

$$x^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -1$$

Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: $x = \pm 1$.

б) $x^2(x — 1) — 3x(x — 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x — 1)$:

$$(x — 1)(x^2 — 3x) = 0$$

Теперь у нас два возможных случая:

$x — 1 = 0$

$x^2 — 3x = 0$

Решим первый случай:

$$x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Решим второй случай:

$$x^2 — 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 3) = 0$$

У нас два решения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3$$

Ответ: $x = 0; \, x = 1; \, x = 3$.

в) $x^2(x^2 — 3)^2 — 4(x^2 — 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 — 3)$:

$$(x^2 — 3) \left( x^2(x^2 — 3) — 4 \right) = 0$$

Теперь у нас два возможных случая:

$x^2 — 3 = 0$

$x^2(x^2 — 3) — 4 = 0$

Рассмотрим первый случай:

$$x^2 — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}$$

Рассмотрим второй случай:

$$x^2(x^2 — 3) — 4 = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^4 — 3x^2 — 4 = 0$$

Сделаем замену: $y = x^2$, получаем уравнение:

$$y^2 — 3y — 4 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Решим уравнение:

$$y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2} = \frac{3 — 5}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Так как $y = x^2$, из первого решения $y_1 = -1$ не будет иметь корней в области действительных чисел, а из второго решения $y_2 = 4$:

$$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{3}; \, x = \pm 2$.

г) $x^2(x — 5)^2 — 5(x — 5)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x — 5)^2$:

$$(x — 5)^2 \left( x^2 — 5 \right) = 0$$

У нас два возможных случая:

$(x — 5)^2 = 0$

$x^2 — 5 = 0$

Рассмотрим первый случай:

$$(x — 5)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

Рассмотрим второй случай:

$$x^2 — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{5}$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{5}; \, x = 5$.