ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 504 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$;

б) $(y — 2)^2 — 4 = 0$;

в) $(3x — 1)^2 = 2(3x — 1)$;

г) $9 — (2x — 3)^2 = 0$.

а) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$

$4x^2 + 4x + 1 — 2x — 1 = 0$

$4x^2 + 2x = 0$

$2x(2x + 1) = 0$

$2x = 0, \quad 2x + 1 = 0$

$x = 0, \quad x = -0.5$.

Ответ: $x = -0.5; \, x = 0$.

б) $(y — 2)^2 — 4 = 0$

$y^2 — 4y + 4 — 4 = 0$

$y^2 — 4y = 0$

$y(y — 4) = 0$

$y = 0, \quad y — 4 = 0$

$y = 0, \quad y = 4$.

Ответ: $y = 0; \, y = 4$.

в) $(3x — 1)^2 = 2(3x — 1)$

$9x^2 — 6x + 1 — 6x + 2 = 0$

$9x^2 — 12x + 3 = 0 \quad | : 3$

$3x^2 — 4x + 1 = 0$

$D = 4 — 3 = 1 = \sqrt{1} = 1$.

$x_1 = \frac{2 — 1}{3} = \frac{1}{3}; \quad x_2 = \frac{2 + 1}{3} = 1$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}; \, x = 1$.

г) $9 — (2x — 3)^2 = 0$

$9 — 4x^2 + 12x — 9 = 0$

$4x^2 — 12x = 0$

$4x(x — 3) = 0$

$4x = 0, \quad x — 3 = 0$

$x = 0, \quad x = 3$.

Ответ: $x = 0; \, x = 3$.

а) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$

Раскрываем квадрат в левой части:

$$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$4x^2 + 4x + 1 — 2x — 1 = 0$$

Упрощаем:

$$4x^2 + 2x = 0$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(4x + 1) = 0$$

Теперь у нас два возможных решения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad 4x + 1 = 0$$

Из второго уравнения находим $x$:

$$4x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{4}$$

Ответ: $x = -\frac{1}{4}; \, x = 0$.

б) $(y — 2)^2 — 4 = 0$

Раскрываем квадрат в левой части:

$$(y — 2)^2 = y^2 — 4y + 4$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$y^2 — 4y + 4 — 4 = 0$$

Упрощаем:

$$y^2 — 4y = 0$$

Вынесем общий множитель $y$:

$$y(y — 4) = 0$$

Теперь у нас два возможных решения:

$$y = 0 \quad \text{или} \quad y — 4 = 0$$

Из второго уравнения находим $y$:

$$y = 4$$

Ответ: $y = 0; \, y = 4$.

в) $(3x — 1)^2 = 2(3x — 1)$

Раскрываем квадрат в левой части:

$$(3x — 1)^2 = 9x^2 — 6x + 1$$

Раскрываем скобки в правой части:

$$2(3x — 1) = 6x — 2$$

Подставляем в уравнение:

$$9x^2 — 6x + 1 = 6x — 2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$9x^2 — 6x + 1 — 6x + 2 = 0$$

Упрощаем:

$$9x^2 — 12x + 3 = 0$$

Делим обе стороны на 3, чтобы упростить уравнение:

$$3x^2 — 4x + 1 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4$$

Находим корни уравнения по формуле:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}; \, x = 1$.

г) $9 — (2x — 3)^2 = 0$

Переносим $(2x — 3)^2$ на правую сторону:

$$9 = (2x — 3)^2$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\sqrt{9} = |2x — 3|$$

Положительное решение:

$$2x — 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Отрицательное решение:

$$2x — 3 = -3 \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

Ответ: $x = 0; \, x = 3$.