ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 503 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(x+1)^2}{2} = 2$;

б) $(x-2)^2 — \frac{(x-3)^2}{3} = 1$;

в) $\frac{(x-3)^2}{3} + 3 = \frac{(x-2)^2}{2}$;

г) $\frac{(x+4)^2}{2} — \frac{1}{3} = (x+2)^2$.

а) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(x+1)^2}{2} = 2 \quad | \cdot 4$

$(x-2)^2 + 2(x+1)^2 = 8$

$x^2 — 4x + 4 + 2(x^2 + 2x + 1) — 8 = 0$

$x^2 — 4x + 4 + 2x^2 + 4x + 2 — 8 = 0$

$3x^2 — 2 = 0$

$3x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{3}$

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

б) $\frac{(x-3)^2}{3} + 3 = \frac{(x-2)^2}{2} \quad | \cdot 6$

$2(x-3)^2 + 3 \cdot 6 — 3(x-2)^2 = 0$

$2(x^2 — 6x + 9) + 18 — 3(x^2 — 4x + 4) = 0$

$2x^2 — 12x + 18 + 18 — 3x^2 + 12x — 12 = 0$

$-x^2 + 24 = 0$

$x^2 = 24$

$x = \pm \sqrt{24}$.

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{6}$.

в) $(x-2)^2 — \frac{(x-3)^2}{3} = 1 \quad | \cdot 3$

$3(x-2)^2 — (x-3)^2 — 3 = 0$

$3(x^2 — 4x + 4) — (x^2 — 6x + 9) — 3 = 0$

$3x^2 — 12x + 12 — x^2 + 6x — 9 — 3 = 0$

$2x^2 — 6x = 0$

$2x(x — 3) = 0$

$2x = 0, \quad x — 3 = 0$

$x = 0, \quad x = 3$.

Ответ: $x = 0; \, x = 3$.

г) $\frac{(x+4)^2}{2} — \frac{1}{3} = (x+2)^2 \quad | \cdot 6$

$3(x+4)^2 — 2 — 6(x+2)^2 = 0$

$3(x^2 + 8x + 16) — 2 — 6(x^2 + 4x + 4) = 0$

$3x^2 + 24x + 48 — 2 — 6x^2 — 24x — 24 = 0$

$-3x^2 + 22 = 0$

$3x^2 = 22$

$x^2 = \frac{22}{3}$

$x = \pm \sqrt{\frac{22}{3}}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{7 \frac{1}{3}}$.

а) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{(x+1)^2}{2} = 2 \quad | \cdot 4$

Умножаем обе части уравнения на 4 для устранения знаменателей:

$$4 \cdot \frac{(x-2)^2}{4} + 4 \cdot \frac{(x+1)^2}{2} = 4 \cdot 2$$ $$(x-2)^2 + 2(x+1)^2 = 8$$

Раскрываем скобки:

$$(x-2)^2 = x^2 — 4x + 4, \quad 2(x+1)^2 = 2(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 4x + 2$$ $$x^2 — 4x + 4 + 2x^2 + 4x + 2 = 8$$

Упрощаем:

$$x^2 + 2x^2 — 4x + 4x + 4 + 2 = 8$$ $$3x^2 + 6 = 8$$

Переносим 8 на левую сторону:

$$3x^2 + 6 — 8 = 0$$ $$3x^2 — 2 = 0$$

Переносим -2 на правую сторону:

$$3x^2 = 2$$

Делим обе стороны на 3:

$$x^2 = \frac{2}{3}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

б) $\frac{(x-3)^2}{3} + 3 = \frac{(x-2)^2}{2} \quad | \cdot 6$

Умножаем обе части уравнения на 6 для устранения знаменателей:

$$6 \cdot \frac{(x-3)^2}{3} + 6 \cdot 3 = 6 \cdot \frac{(x-2)^2}{2}$$ $$2(x-3)^2 + 18 = 3(x-2)^2$$

Раскрываем скобки:

$$2(x^2 — 6x + 9) + 18 = 3(x^2 — 4x + 4)$$ $$2x^2 — 12x + 18 + 18 = 3x^2 — 12x + 12$$

Упрощаем:

$$2x^2 — 12x + 36 = 3x^2 — 12x + 12$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$2x^2 — 12x + 36 — 3x^2 + 12x — 12 = 0$$ $$-x^2 + 24 = 0$$

Переносим 24 на правую сторону:

$$-x^2 = -24$$ $$x^2 = 24$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \pm \sqrt{24}$$

Упрощаем корень:

$$x = \pm 2\sqrt{6}$$

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{6}$.

в) $(x-2)^2 — \frac{(x-3)^2}{3} = 1 \quad | \cdot 3$

Умножаем обе части уравнения на 3 для устранения дробей:

$$3 \cdot (x-2)^2 — (x-3)^2 = 3 \cdot 1$$ $$3(x-2)^2 — (x-3)^2 = 3$$

Раскрываем скобки:

$$3(x^2 — 4x + 4) — (x^2 — 6x + 9) = 3$$ $$3x^2 — 12x + 12 — x^2 + 6x — 9 = 3$$

Упрощаем:

$$3x^2 — x^2 — 12x + 6x + 12 — 9 = 3$$ $$2x^2 — 6x + 3 = 3$$

Переносим 3 на левую сторону:

$$2x^2 — 6x + 3 — 3 = 0$$ $$2x^2 — 6x = 0$$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$$2x(x — 3) = 0$$

Теперь у нас два возможных решения:

$$2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$ $$x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Ответ: $x = 0; \, x = 3$.

г) $\frac{(x+4)^2}{2} — \frac{1}{3} = (x+2)^2 \quad | \cdot 6$

Умножаем обе части уравнения на 6 для устранения дробей:

$$6 \cdot \frac{(x+4)^2}{2} — 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot (x+2)^2$$ $$3(x+4)^2 — 2 = 6(x+2)^2$$

Раскрываем скобки:

$$3(x^2 + 8x + 16) — 2 = 6(x^2 + 4x + 4)$$ $$3x^2 + 24x + 48 — 2 = 6x^2 + 24x + 24$$

Упрощаем:

$$3x^2 + 24x + 46 = 6x^2 + 24x + 24$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$3x^2 + 24x + 46 — 6x^2 — 24x — 24 = 0$$ $$-3x^2 + 22 = 0$$

Переносим 22 на правую сторону:

$$-3x^2 = -22$$ $$3x^2 = 22$$

Делим обе стороны на 3:

$$x^2 = \frac{22}{3}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \pm \sqrt{\frac{22}{3}}$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{7 \frac{1}{3}}$.