ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 50 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Приведите дроби к общему знаменателю и выполните сложение или вычитание; в качестве образца используйте пример 2 из текста.

а) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+y}$;

б) $\frac{5}{a} + \frac{3a-5}{a+1}$;

в) $\frac{x}{x+y} — \frac{x-y}{x}$;

г) $\frac{m+n}{m} — \frac{n+m}{m-n}$;

д) $\frac{2c}{c-d} — \frac{c+d}{c}$;

е) $\frac{p}{q-p} — \frac{p}{q}$.

а) $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}=\frac{x+y}{x(x+y)}+\frac{x}{x(x+y)}=\frac{x+y+x}{x(x+y)}=\frac{2x+y}{x^2+xy}$.

б) $\frac{5}{a}+\frac{3a-5}{a+1}=\frac{5(a+1)}{a(a+1)}+\frac{a(3a-5)}{a(a+1)}=\frac{5(a+1)+a(3a-5)}{a(a+1)}=\frac{5a+5+3a^2-5a}{a^2+a}=\frac{5+3a^2}{a^2+a}$.

в) $\frac{x}{x+y}-\frac{x-y}{x}=\frac{x^2}{x(x+y)}-\frac{(x-y)(x+y)}{x(x+y)}=\frac{x^2-(x^2-y^2)}{x(x+y)}=\frac{x^2-x^2+y^2}{x^2+xy}=\frac{y^2}{x^2+xy}$.

г) $\frac{m+n}{m}-\frac{n+m}{m-n}=\frac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)}-\frac{m(n+m)}{m(m-n)}=\frac{m^2-n-mn-m^2}{m(m-n)}=\frac{-n-mn}{mn-m^2}=\frac{mn+n}{mn-m^2}$.

д) $\frac{2c}{c-d}-\frac{c+d}{c}=\frac{2c^2}{c(c-d)}-\frac{(c+d)(c-d)}{c(c-d)}=\frac{2c^2-(c^2-d^2)}{c^2-cd}=\frac{c^2+d^2}{c^2-cd}$.

е) $\frac{p}{q-p}-\frac{p}{q}=\frac{pq}{q(q-p)}-\frac{p(q-p)}{q(q-p)}=\frac{pq-p(q-p)}{q(q-p)}=\frac{pq-pq+p^2}{q^2-pq}=\frac{p^2}{q^2-pq}$.

а)

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}$$

Шаг 1. Найдём общий знаменатель — произведение $x(x+y)$.

Шаг 2. Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x}=\frac{x+y}{x(x+y)}$$$$\frac{1}{x+y}=\frac{x}{x(x+y)}$$

Шаг 3. Сложим дроби:

$$\frac{x+y}{x(x+y)}+\frac{x}{x(x+y)}=\frac{x+y+x}{x(x+y)}=\frac{2x+y}{x^2+xy}$$

б)

$$\frac{5}{a}+\frac{3a-5}{a+1}$$

Шаг 1. Общий знаменатель — $a(a+1)$.

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{5}{a}=\frac{5(a+1)}{a(a+1)}$$$$\frac{3a-5}{a+1}=\frac{a(3a-5)}{a(a+1)}$$

Шаг 3. Сложим дроби:

$$\frac{5(a+1)+a(3a-5)}{a(a+1)}=\frac{5a+5+3a^2-5a}{a^2+a}=\frac{3a^2+5}{a^2+a}$$

в)

$$\frac{x}{x+y}-\frac{x-y}{x}$$

Шаг 1. Общий знаменатель — $x(x+y)$.

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{x}{x+y}=\frac{x^2}{x(x+y)}$$$$\frac{x-y}{x}=\frac{(x-y)(x+y)}{x(x+y)}$$

Шаг 3. Выполним вычитание:

$$\frac{x^2-(x-y)(x+y)}{x(x+y)}$$

Шаг 4. Раскроем скобки в числителе:

$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$$$x^2-(x^2-y^2)=x^2-x^2+y^2=y^2$$

Шаг 5. Получаем:

$$\frac{y^2}{x^2+xy}$$

г)

$$\frac{m+n}{m}-\frac{n+m}{m-n}$$

Шаг 1. Общий знаменатель — $m(m-n)$.

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{m+n}{m}=\frac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)}$$$$\frac{n+m}{m-n}=\frac{m(n+m)}{m(m-n)}$$

Шаг 3. Выполним вычитание:

$$\frac{(m+n)(m-n)-m(n+m)}{m(m-n)}$$

Шаг 4. Раскроем числитель:

$$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$$$$m(n+m)=mn+m^2$$$$m^2-n^2-(mn+m^2)=m^2-n^2-mn-m^2=-n^2-mn=-n(m+n)$$

Шаг 5. Запишем дробь:

$$\frac{-n(m+n)}{m(m-n)}$$

д)

$$\frac{2c}{c-d}-\frac{c+d}{c}$$

Шаг 1. Общий знаменатель — $c(c-d)$.

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{2c}{c-d}=\frac{2c^2}{c(c-d)}$$$$\frac{c+d}{c}=\frac{(c+d)(c-d)}{c(c-d)}$$

Шаг 3. Выполним вычитание:

$$\frac{2c^2-(c+d)(c-d)}{c(c-d)}$$

Шаг 4. Раскроем скобки в числителе:

$$(c+d)(c-d)=c^2-d^2$$$$2c^2-(c^2-d^2)=2c^2-c^2+d^2=c^2+d^2$$

Шаг 5. Получаем:

$$\frac{c^2+d^2}{c^2-cd}$$

е)

$$\frac{p}{q-p}-\frac{p}{q}$$

Шаг 1. Общий знаменатель — $q(q-p)$.

Шаг 2. Приведём дроби:

$$\frac{p}{q-p}=\frac{pq}{q(q-p)}$$$$\frac{p}{q}=\frac{p(q-p)}{q(q-p)}$$

Шаг 3. Выполним вычитание:

$$\frac{pq-p(q-p)}{q(q-p)}=\frac{pq-pq+p^2}{q^2-pq}=\frac{p^2}{q^2-pq}$$