ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 499 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Катеты прямоугольного треугольника относятся как $3 : 4$, а его гипотенуза равна $1 \, \text{дм}$. Найдите периметр треугольника.

б) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $\frac{17}{8}$, а другой катет равен $30 \, \text{см}$. Найдите…

а) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора:

$$1^2=(3x{)}^2+(4x{)}^2$$

Раскроем скобки и упростим:

$$1=9x^2+16x^2$$

$$1=25x^2$$

Разделим обе части на 25:

$$x^2=\frac{1}{25}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x=\frac{1}{5},x=-\frac{1}{5}\text{ — не подходит.}$$

Катеты равны:

$$3x=3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}=0,6\text{ дм }=6\text{ см.}$$

$$4x=4\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{5}=0,8\text{ дм }=8\text{ см.}$$

Гипотенуза равна $1$ дм $=10$ см.

Периметр равен:

$$6+8+10=24\text{ (см)}\mathrm{.}$$

Ответ: 24 см.

б) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора:

$$(17x{)}^2-(8x{)}^2={30}^2$$

Раскроем скобки и упростим:

$$289x^2-64x^2=900$$

$$$$$$225x^2=900$$

Разделим обе части на 225:

$$x^2=\frac{900}{225}$$

$$$$$$x^2=4$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x=2,x=-2\text{ — не подходит.}$$

Катет равен:

$$8x=8\cdot 2=16\text{ (см)}\mathrm{.}$$

Площадь треугольника равна:

$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 30=8\cdot 30=240{\text{ (см}}^2\text{)}\mathrm{.}$$

Ответ: 240 см².

а) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1 дм (или 10 см), а катеты $3x$ и $4x$. Применяем теорему Пифагора:

$$1^2=(3x{)}^2+(4x{)}^2$$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$1=9x^2+16x^2$$

$$$$$$1=25x^2$$

Разделим обе части уравнения на 25:

$$x^2=\frac{1}{25}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x=\frac{1}{5},x=-\frac{1}{5}\text{ — не подходит, так как }x\text{ должно быть положительным.}$$

Найдем длины катетов:

$$3x=3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}=0,6\text{ дм }=6\text{ см.}$$

$$$$$$4x=4\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{5}=0,8\text{ дм }=8\text{ см.}$$

Гипотенуза равна 1 дм $=10$ см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$$6+8+10=24\text{ см.}$$

Ответ: 24 см.

б) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике катеты равны $17x$ и $8x$, а гипотенуза равна 30 см. Применяем теорему Пифагора:

$$(17x{)}^2-(8x{)}^2={30}^2$$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$289x^2-64x^2=900$$$$225x^2=900$$

Разделим обе части уравнения на 225:

$$x^2=\frac{900}{225}$$

$$$$$$x^2=4$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x=2,x=-2\text{ — не подходит, так как }x\text{ должно быть положительным.}$$

Найдем длину одного из катетов:

$$8x=8\cdot 2=16\text{ см.}$$

Площадь треугольника равна:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 30=8\cdot 30=240{\text{ см}}^2\mathrm{.}$$

Ответ: 240 см².