ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 499 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 :4, а его гипотенуза равна 1 дм. Найдите периметр треугольника.
б) Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 17/8, а другой катет равен 30 см. Найдите площадь треугольника.

а) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора:

$$1^2 = (3x)^2 + (4x)^2$$

Раскроем скобки и упростим:

$$1 = 9x^2 + 16x^2$$ $$1 = 25x^2$$

Разделим обе части на 25:

$$x^2 = \frac{1}{25}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x = \frac{1}{5}, \quad x = -\frac{1}{5} \text{ — не подходит.}$$

Катеты равны:

$$3x = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} = 0,6 \text{ дм } = 6 \text{ см.}$$ $$4x = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0,8 \text{ дм } = 8 \text{ см.}$$

Гипотенуза равна $1$ дм $= 10$ см.

Периметр равен:

$$6 + 8 + 10 = 24 \text{ (см)}.$$

Ответ: 24 см.

б) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора:

$$(17x)^2 — (8x)^2 = 30^2$$

Раскроем скобки и упростим:

$$289x^2-64x^2=900$$

$$289x^2 — 64x^2 = 900$$ $$225x^2 = 900$$

Разделим обе части на 225:

$$x^2=\frac{900}{225}$$

$$x^2 = \frac{900}{225}$$ $$x^2 = 4$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x = 2, \quad x = -2 \text{ — не подходит.}$$

Катет равен:

$$8x = 8 \cdot 2 = 16 \text{ (см)}.$$

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \text{ (см}^2\text{)}.$$

Ответ: 240 см².

а) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 1 дм (или 10 см), а катеты $3x$ и $4x$. Применяем теорему Пифагора:

$$1^2 = (3x)^2 + (4x)^2$$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$1=9x^2+16x^2$$

$$1 = 9x^2 + 16x^2$$ $$1 = 25x^2$$

Разделим обе части уравнения на 25:

$$x^2 = \frac{1}{25}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x = \frac{1}{5}, \quad x = -\frac{1}{5} \text{ — не подходит, так как \( x \) должно быть положительным.}$$

Найдем длины катетов:

$$3x=3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}=0,6\text{ дм }=6\text{ см.}$$

$$3x = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} = 0,6 \text{ дм } = 6 \text{ см.}$$ $$4x = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0,8 \text{ дм } = 8 \text{ см.}$$

Гипотенуза равна 1 дм $= 10$ см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$$6 + 8 + 10 = 24 \text{ см.}$$

Ответ: 24 см.

б) Пусть на одну часть приходится $x$ дм.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике катеты равны $17x$ и $8x$, а гипотенуза равна 30 см. Применяем теорему Пифагора:

$$(17x)^2 — (8x)^2 = 30^2$$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$289x^2 — 64x^2 = 900$$ $$225x^2 = 900$$

Разделим обе части уравнения на 225:

$$x^2=\frac{900}{225}$$

$$x^2 = \frac{900}{225}$$ $$x^2 = 4$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x = 2, \quad x = -2 \text{ — не подходит, так как \( x \) должно быть положительным.}$$

Найдем длину одного из катетов:

$$8x = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см.}$$

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \text{ см}^2.$$

Ответ: 240 см².