ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 497 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:
а) $x^3 — x = 0$;
б) $x^3 + 4x^2 = 0$;
в) $9x^3 — x = 0$;
г) $2x^2 + 4x^3 = 0$;
д) $-10x^2 + 2x^3 = 0$;
е) $2x + 18x^3 = 0$.

а) $x^3-x=0$

$$x(x^2-1)=0$$

$$$$$$x=0,x^2-1=0$$

$$$$$$x^2=1$$

$$$$$$x=\pm 1.$$

Ответ: $x=\pm 1;x=0$.

б) $x^3+4x^2=0$

$$x^2(x+4)=0$$

$$$$$$x^2=0,x+4=0$$

$$$$$$x=0,x=-4.$$

Ответ: $x=-4;x=0$.

в) $9x^3-x=0$

$$x(9x^2-1)=0$$

$$$$$$x=0,9x^2-1=0$$

$$$$$$9x^2=1$$

$$$$$$x^2=\frac{1}{9}$$

$$$$$$x=\pm \frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\pm \frac{1}{3};x=0$.

г) $2x^2+4x^3=0$

$$2x^2(1+2x)=0$$

$$$$$$2x^2=0,1+2x=0$$

$$$$$$x=0,x=-\mathrm{0.5.}$$

Ответ: $x=-0.5;x=0$.

д) $-10x^2+2x^3=0$

$$-2x^2(5-x)=0$$

$$$$$$-2x^2=0,5-x=0$$

$$$$$$x=0,x=5.$$

Ответ: $x=0;x=5$.

е) $2x+18x^3=0$

$$2x(1+9x^2)=0$$$$2x=0,1+9x^2=0$$$$x=0,9x^2=-1$$

Корней нет.

Ответ: $x=0$.

Окончательный ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\pm 1;x=0\text{(а)},x=-4;x=0\text{(б)},x=\pm \frac{1}{3};x=0\text{(в)},}}$$

$$\boxed{{\displaystyle x=-0.5;x=0\text{(г)},x=0;x=5\text{(д)},x=0\text{(е)}\mathrm{.}}}$$

а) $x^3-x=0$

Для начала вынесем общий множитель $x$ из левой части уравнения:

$$x(x^2-1)=0.$$

Уравнение $x(x^2-1)=0$ равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$x=0\text{или}{x}^2-1=0.$$

Для второго случая решаем уравнение $x^2-1=0$:

$$x^2=1.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x=\pm 1.$$

Ответ: $x=\pm 1;x=0$.

б) $x^3+4x^2=0$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$$x^2(x+4)=0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$x^2=0\text{или}x+4=0.$$

Для первого случая:

$$x=0.$$

Для второго случая:

$$x+4=0\Rightarrow x=-4.$$

Ответ: $x=-4;x=0$.

в) $9x^3-x=0$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(9x^2-1)=0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$x=0\text{или}9x^2-1=0.$$

Для второго случая решаем уравнение $9x^2-1=0$:

$$9x^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{9}\mathrm{.}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x=\pm \frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\pm \frac{1}{3};x=0$.

г) $2x^2+4x^3=0$

Подробное решение:

Вынесем общий множитель $2x^2$:

$$2x^2(1+2x)=0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$2x^2=0\text{или}1+2x=0.$$

Для первого случая:

$$x=0.$$

Для второго случая решаем уравнение $1+2x=0$:

$$2x=-1\Rightarrow x=-\mathrm{0.5.}$$

Ответ: $x=-0.5;x=0$.

д) $-10x^2+2x^3=0$

Вынесем общий множитель $-2x^2$:

$$-2x^2(5-x)=0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$-2x^2=0\text{или}5-x=0.$$

Для первого случая:

$$x=0.$$

Для второго случая:

$$5-x=0\Rightarrow x=5.$$

Ответ: $x=0;x=5$.

е) $2x+18x^3=0$

Вынесем общий множитель $2x$:

$$2x(1+9x^2)=0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$2x=0\text{или}1+9x^2=0.$$

Для первого случая:

$$x=0.$$

Для второго случая решаем уравнение $1+9x^2=0$:

$$9x^2=-1.$$

Однако это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: $x=0$.

Итоговый ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\pm 1;x=0\text{(а)},x=-4;x=0\text{(б)},x=\pm \frac{1}{3};x=0\text{(в)},}}$$

$$\boxed{{\displaystyle x=-0.5;x=0\text{(г)},x=0;x=5\text{(д)},x=0\text{(е)}\mathrm{.}}}$$