ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 497 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:
а) x^3-x=0;
б) x^3+4x^2=0;
в) 9x^3-x=0;
г) 2x^2+4x^3=0;
д) -10x^2+2x^3=0;
е) 2x+18x^3=0.

а) $x^3 — x = 0$

$$x(x^2-1)=0$$

$$x(x^2 — 1) = 0$$ $$x=0,x^2-1=0$$

$$x = 0, \quad x^2 — 1 = 0$$ $$x^2=1$$

$$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1.$$

Ответ: $x = \pm 1; \, x = 0$.

б) $x^3 + 4x^2 = 0$

$$x^2(x+4)=0$$

$$x^2(x + 4) = 0$$ $$x^2=0,x+4=0$$

$$x^2 = 0, \quad x + 4 = 0$$ $$x = 0, \quad x = -4.$$

Ответ: $x = -4; \, x = 0$.

в) $9x^3 — x = 0$

$$x(9x^2-1)=0$$

$$x(9x^2 — 1) = 0$$ $$x=0,9x^2-1=0$$

$$x = 0, \quad 9x^2 — 1 = 0$$ $$9x^2=1$$

$$9x^2 = 1$$ $$x^2=\frac{1}{9}$$

$$x^2 = \frac{1}{9}$$ $$x = \pm \frac{1}{3}.$$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3}; \, x = 0$.

г) $2x^2 + 4x^3 = 0$

$$2x^2(1+2x)=0$$

$$2x^2(1 + 2x) = 0$$ $$2x^2=0,1+2x=0$$

$$2x^2 = 0, \quad 1 + 2x = 0$$ $$x = 0, \quad x = -0.5.$$

Ответ: $x = -0.5; \, x = 0$.

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0$

$$-2x^2(5-x)=0$$

$$-2x^2(5 — x) = 0$$ $$-2x^2=0,5-x=0$$

$$-2x^2 = 0, \quad 5 — x = 0$$ $$x = 0, \quad x = 5.$$

Ответ: $x = 0; \, x = 5$.

е) $2x + 18x^3 = 0$

$$2x(1 + 9x^2) = 0$$ $$2x = 0, \quad 1 + 9x^2 = 0$$ $$x = 0, \quad 9x^2 = -1$$

Корней нет.

Ответ: $x = 0$.

Окончательный ответ:

$$\boxed{x = \pm 1; \, x = 0 \quad \text{(а)}, \quad x = -4; \, x = 0 \quad \text{(б)}, \quad x = \pm \frac{1}{3}; \, x = 0 \quad \text{(в)}, \quad x = -0.5; \, x = 0 \quad \text{(г)}, \quad x = 0; \, x = 5 \quad \text{(д)}, \quad x = 0 \quad \text{(е)}.}$$

а) $x^3 — x = 0$

Для начала вынесем общий множитель $x$ из левой части уравнения:

$$x(x^2 — 1) = 0.$$

Уравнение $x(x^2 — 1) = 0$ равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 1 = 0.$$

Для второго случая решаем уравнение $x^2 — 1 = 0$:

$$x^2 = 1.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x = \pm 1.$$

Ответ: $x = \pm 1; \, x = 0$.

б) $x^3 + 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$$x^2(x + 4) = 0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0.$$

Для первого случая:

$$x = 0.$$

Для второго случая:

$$x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4.$$

Ответ: $x = -4; \, x = 0$.

в) $9x^3 — x = 0$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(9x^2 — 1) = 0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad 9x^2 — 1 = 0.$$

Для второго случая решаем уравнение $9x^2 — 1 = 0$:

$$9x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{9}.$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x = \pm \frac{1}{3}.$$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3}; \, x = 0$.

г) $2x^2 + 4x^3 = 0$

Подробное решение:

Вынесем общий множитель $2x^2$:

$$2x^2(1 + 2x) = 0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$2x^2 = 0 \quad \text{или} \quad 1 + 2x = 0.$$

Для первого случая:

$$x = 0.$$

Для второго случая решаем уравнение $1 + 2x = 0$:

$$2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -0.5.$$

Ответ: $x = -0.5; \, x = 0$.

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $-2x^2$:

$$-2x^2(5 — x) = 0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$-2x^2 = 0 \quad \text{или} \quad 5 — x = 0.$$

Для первого случая:

$$x = 0.$$

Для второго случая:

$$5 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5.$$

Ответ: $x = 0; \, x = 5$.

е) $2x + 18x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $2x$:

$$2x(1 + 9x^2) = 0.$$

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

$$2x = 0 \quad \text{или} \quad 1 + 9x^2 = 0.$$

Для первого случая:

$$x = 0.$$

Для второго случая решаем уравнение $1 + 9x^2 = 0$:

$$9x^2 = -1.$$

Однако это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: $x = 0$.

Итоговый ответ:

$$\boxed{x = \pm 1; \, x = 0 \quad \text{(а)}, \quad x = -4; \, x = 0 \quad \text{(б)}, \quad x = \pm \frac{1}{3}; \, x = 0 \quad \text{(в)}, \quad x = -0.5; \, x = 0 \quad \text{(г)}, \quad x = 0; \, x = 5 \quad \text{(д)}, \quad x = 0 \quad \text{(е)}.}$$