ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 489 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Найдите число, выражающее золотое сечение. Для этого примите длину меньшей части b за 1 и, подставив b=1 в пропорцию, найдите из этой пропорции a. Положительное значение a и будет равно золотому сечению.
2) Постройте какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. «Отрежьте» от него квадрат. Убедитесь в том, что отношение сторон полученного прямоугольника также равно золотому сечению.

1. $b = 1$;

$$\frac{a}{1} = \frac{a + 1}{a}$$

$$a^2=a+1$$

$$a^2 = a + 1$$ $$a^2 — a — 1 = 0$$

$$D=1+4=5=\sqrt{5}$$

$$D = 1 + 4 = 5 = \sqrt{5}$$ $$a_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\text{— не подходит};$$

$$a_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2} < 0 \quad \text{— не подходит};$$ $$a_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2,236}{2} = \frac{3,236}{2} = 1,618$$

Ответ: $a = 1,618$.

2. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $35$ мм, тогда длина большей стороны равна $35 \cdot 1,618 = 56,63$ мм.

Получился прямоугольник со сторонами $35$ мм и $56,6 — 35 = 21,6$ мм.

Отношение длин примерно равно:

$$\frac{35}{21,6} = \frac{350}{216} \approx 1,6$$

Следовательно, получившийся прямоугольник также является «золотым».

1. Решение первого уравнения:

Пусть $b = 1$. Мы начинаем с уравнения:

$$\frac{a}{1} = \frac{a + 1}{a}$$

1. Умножим обе части уравнения на $a$, чтобы избавиться от дроби:

$$a = a + 1$$

2. Переносим $a$ на одну сторону уравнения:

$$a — a = 1$$

3. Видим, что левая часть уравнения $a — a = 0$, и уравнение сводится к:

$$0 = 1$$

Таким образом, уравнение не имеет смысла, и видимо, нужно использовать другое преобразование. Смотрим исходную формулу, мы можем переписать её как:

$$a^2 = a + 1$$

2. Решение уравнения $a^2 = a + 1$:

Переносим все элементы на одну сторону:

$$a^2 — a — 1 = 0$$

Теперь решаем квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 1$, $b = -1$, и $c = -1$. Подставляем эти значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -1$, $D = 5$, и $a = 1$:

$$a_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — \sqrt{5}}{2}$$

$$a_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

1. Рассмотрим $a_1$:

$$a_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 — 2,236}{2} = \frac{-1,236}{2} \approx -0,618$$

Это отрицательное значение, а поскольку оно не подходит для данного контекста (здесь, вероятно, подразумевается положительное значение), мы отбрасываем этот корень.

2. Рассмотрим $a_2$:

$$a_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2,236}{2} = \frac{3,236}{2} = 1,618$$

Таким образом, правильный корень уравнения:

$$a = 1,618$$

Ответ: $a = 1,618$.

3. Применение полученного значения в задаче с прямоугольником:

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $35$ мм. Тогда длина большей стороны будет:

$$35 \cdot 1,618 = 56,63 \text{ мм}$$

Таким образом, получился прямоугольник с меньшей стороной $35$ мм и большей стороной $56,63$ мм. Теперь вычислим разницу между большей и меньшей стороной:

$$56,63 — 35 = 21,63 \text{ мм}$$

Теперь найдем отношение длин сторон:

$$\frac{35}{21,6} = \frac{350}{216} \approx 1,6$$

Это отношение примерно равно $1,6$, что подтверждает, что прямоугольник является «золотым».

Ответ: получившийся прямоугольник является «золотым».