ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 488 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 400 р., а окончательная 256 р.?

Пусть цена товара каждый раз уменьшалась на $x$ процентов, то есть на $\frac{x}{100}$ величины. Тогда:

• $(400 — 400 \cdot \frac{x}{100})$ руб — цена товара после первого понижения;
• $\left( (400 — 4x) — (400 — 4x) \cdot \frac{x}{100} \right)$ руб — цена товара после второго понижения.

Составим уравнение:

$$(400-4x)-(400-4x)\cdot \frac{x}{100}=256\mathrm{\mid }\cdot 100$$

$$(400 — 4x) — (400 — 4x) \cdot \frac{x}{100} = 256 \quad | \cdot 100$$ $$100(400-4x)-x(400-4x)-25600=0$$

$$100(400 — 4x) — x(400 — 4x) — 25600 = 0$$ $$40000-400x-400x+4x^2-25600=0$$

$$40000 — 400x — 400x + 4x^2 — 25600 = 0$$ $$4x^2-800x+14400=0\mathrm{\mid }:4$$

$$4x^2 — 800x + 14400 = 0 \quad | : 4$$ $$x^2-200x+3600=0$$

$$x^2 — 200x + 3600 = 0$$ $$D=10000-3600=6400=\sqrt{6400}=80.$$

$$D = 10000 — 3600 = 6400 = \sqrt{6400} = 80.$$ $$x_1=100-80=20(\mathrm{\%})\text{— снижалась цена товара каждый раз};$$

$$x_1 = 100 — 80 = 20 \quad (\%) \quad \text{— снижалась цена товара каждый раз};$$ $$x_2 = 100 + 80 = 180 \quad \text{— не подходит}.$$

Ответ: на $20 \%$.

1. Начнем с того, что в задаче предполагается, что цена товара каждый раз уменьшается на $x$ процентов, то есть на $\frac{x}{100}$ величины.

• После первого понижения цена товара составит $400 — 400 \cdot \frac{x}{100}$ руб.
• После второго понижения цена товара составит $\left( (400 — 4x) — (400 — 4x) \cdot \frac{x}{100} \right)$ руб.

Составим уравнение, где цена товара после второго понижения равна 256 рублям:

$$(400 — 4x) — (400 — 4x) \cdot \frac{x}{100} = 256$$

2. Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от дроби:

$$100 \cdot (400 — 4x) — x \cdot (400 — 4x) = 25600$$

3. Раскроем скобки:

$$100(400-4x)-x(400-4x)=25600$$

$$100(400 — 4x) — x(400 — 4x) = 25600$$ $$40000 — 400x — 400x + 4x^2 = 25600$$

4. Упростим выражение:

$$40000 — 800x + 4x^2 = 25600$$

5. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$4x^2 — 800x + 14400 = 0$$

6. Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить выражение:

$$x^2 — 200x + 3600 = 0$$

7. Рассчитаем дискриминант (D) для квадратного уравнения $x^2 — 200x + 3600 = 0$:

$$D = (-200)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 40000 — 14400 = 25600$$

8. Извлечем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{25600} = 160$$

9. Вычислим корни уравнения с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

$$x_1=\frac{-(-200)-160}{2\cdot 1}=\frac{200-160}{2}=\frac{40}{2}=20$$

$$x_1 = \frac{-(-200) — 160}{2 \cdot 1} = \frac{200 — 160}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ $$x_2 = \frac{-(-200) + 160}{2 \cdot 1} = \frac{200 + 160}{2} = \frac{360}{2} = 180$$

10. Пояснение:

• $x_1 = 20$ — это решение, которое подходит, поскольку цена товара действительно уменьшалась на $20 \%$ каждый раз.
• $x_2 = 180$ — это решение не подходит, так как оно значительно больше 100, что невозможно в рамках задачи, так как процент не может превышать 100%.

Ответ: на $20 \%$.