ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 486 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?

Пусть на плоскости отмечено $n$ точек, тогда отрезков $\frac{n(n-1)}{2}$.

Составим уравнение:

$$\frac{n(n-1)}{2}=105\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$\frac{n(n-1)}{2} = 105 \quad | \cdot 2$$ $$n(n-1)=210$$

$$n(n-1) = 210$$ $$n^2-n-210=0$$

$$n^2 — n — 210 = 0$$ $$D=1+4\cdot 210=841=\sqrt{841}=29.$$

$$D = 1 + 4 \cdot 210 = 841 = \sqrt{841} = 29.$$ $$n_1=\frac{1-29}{2}=\frac{-28}{2}=-14<0\text{— не подходит};$$

$$n_1 = \frac{1 — 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14 < 0 \quad \text{— не подходит};$$ $$n_2 = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15 \quad (\text{точек}) \quad \text{— на плоскости}.$$

Ответ: 15 точек.

1. Дано:

Пусть на плоскости отмечено $n$ точек. Требуется найти, сколько точек нужно отметить на плоскости, если количество отрезков, которые можно провести между этими точками, равно 105.

Количество отрезков, которые можно провести между $n$ точками, можно вычислить по формуле для сочетаний:

$$\text{Количество отрезков} = \frac{n(n — 1)}{2}$$

Эта формула вычисляет количество возможных пар точек, из которых можно провести отрезок.

Из условия задачи мы знаем, что количество отрезков равно 105, то есть:

$$\frac{n(n — 1)}{2} = 105$$

2. Умножаем обе части уравнения на 2:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$$n(n — 1) = 210$$

3. Раскрываем скобки и приводим уравнение к стандартному виду:

Теперь перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения:

$$n^2 — n — 210 = 0$$

4. Находим дискриминант:

Чтобы решить квадратное уравнение $n^2 — n — 210 = 0$, вычислим дискриминант. Формула для дискриминанта квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ следующая:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае $a = 1$, $b = -1$, $c = -210$. Подставляем эти значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$$

5. Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

Теперь извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{841} = 29$$

6. Находим корни уравнения:

Теперь можем найти корни уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -1$, $D = 841$, $a = 1$:

$$n = \frac{-(-1) \pm 29}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 29}{2}$$

Теперь находим два корня:

$$n_1=\frac{1-29}{2}=\frac{-28}{2}=-14$$

$$n_1 = \frac{1 — 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$ $$n_2 = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

7. Проверка корней:

Корень $n_1 = -14$ не подходит, так как количество точек не может быть отрицательным.

Корень $n_2 = 15$ подходит, так как количество точек должно быть положительным.

8. Ответ:

Итак, на плоскости нужно отметить 15 точек.

Ответ: 15 точек.