ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 485 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В турнире шахматистов каждый из участников сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 120 партий. Сколько шахматистов участвовало в турнире?

Пусть в турнире участвовало $n$ шахматистов, тогда каждым было сыграно партий $\frac{n(n-1)}{2}$.

Составим уравнение:

$$\frac{n(n-1)}{2}=120\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$\frac{n(n-1)}{2} = 120 \quad | \cdot 2$$ $$n(n-1)=240$$

$$n(n-1) = 240$$ $$n^2-n-240=0$$

$$n^2 — n — 240 = 0$$ $$D=1+4\cdot 240=961=\sqrt{961}=31.$$

$$D = 1 + 4 \cdot 240 = 961 = \sqrt{961} = 31.$$ $$n_1=\frac{1-31}{2}=\frac{-30}{2}=-15<0\text{— не подходит};$$

$$n_1 = \frac{1 — 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15 < 0 \quad \text{— не подходит};$$ $$n_2 = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16 \quad (\text{шах}) \quad \text{— участвовало в турнире}.$$

Ответ: 16 шахматистов.

1. Дано:

В турнире участвовало $n$ шахматистов. Каждый шахматист сыграл по $n — 1$ партии с остальными участниками. Поскольку каждое соревнование включает два участника, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле:

$$\frac{n(n-1)}{2}$$

Задано, что общее количество сыгранных партий равно 120, поэтому можно составить уравнение:

$$\frac{n(n-1)}{2} = 120$$

2. Умножаем обе части уравнения на 2:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$$n(n-1) = 240$$

3. Раскрываем скобки:

Теперь раскроем скобки в уравнении:

$$n^2 — n = 240$$

4. Переносим все на одну сторону:

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$n^2 — n — 240 = 0$$

Это квадратное уравнение.

5. Решаем квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения $n^2 — n — 240 = 0$ воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -240$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$$

6. Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

Теперь извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{961} = 31$$

7. Находим корни уравнения:

Теперь находим корни квадратного уравнения с помощью формулы для корней:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -1$, $D = 961$, $a = 1$:

$$n = \frac{-(-1) \pm 31}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 31}{2}$$

Это даёт два корня:

$$n_1 = \frac{1 — 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$ $$n_2 = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

8. Проверка корней:

Корень $n_1 = -15$ не подходит, так как количество участников не может быть отрицательным.

Корень $n_2 = 16$ подходит, так как количество участников должно быть положительным.

9. Ответ:

Итак, в турнире участвовало 16 шахматистов.

Ответ: 16 шахматистов.