ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 482 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сумму n последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно вычислить по формуле S_n=n(n+1)/2. Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до n надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

Определим, сколько натуральных чисел надо сложить, чтобы в сумме получилось 66:

$$\frac{n(n+1)}{2}=66\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$\frac{n(n + 1)}{2} = 66 \quad | \cdot 2$$ $$n(n+1)=66\cdot 2$$

$$n(n + 1) = 66 \cdot 2$$ $$n^2+n-132=0$$

$$n^2 + n — 132 = 0$$ $$D=1+4\cdot 132=529=\sqrt{529}=23.$$

$$D = 1 + 4 \cdot 132 = 529 = \sqrt{529} = 23.$$ $$n_1 = \frac{-1 — 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12 < 0 \quad \text{— не подходит};$$ $$n_2 = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11 \quad \text{— то есть, надо сложить все натуральные числа от 1 до 11.}$$

Определим, сколько натуральных чисел надо сложить, чтобы в сумме получилось больше 55.

Чтобы в сумме было число 66, надо сложить все числа от 1 до 11. Значит, если от 66 вычесть 11, будет 55. А в задаче требуется, чтобы сумма была больше 55. Значит, надо сложить все числа от 1 до 11 — наименьшее число последовательных натуральных чисел 11.

Ответ: от 1 до 11; 11.

1. Дано:

Необходимо определить, сколько натуральных чисел нужно сложить, чтобы их сумма была равна 66.

2. Формула суммы первых $n$ натуральных чисел:

Сумма первых $n$ натуральных чисел выражается через формулу:

$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

где $n$ — это количество чисел, которые мы складываем.

Мы знаем, что сумма этих чисел должна быть равна 66. Подставим в формулу:

$$\frac{n(n + 1)}{2} = 66$$

3. Умножаем обе части уравнения на 2:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$$n(n+1)=66\cdot 2$$

$$n(n + 1) = 66 \cdot 2$$ $$n(n + 1) = 132$$

4. Получаем квадратное уравнение:

Перепишем уравнение в стандартной форме:

$$n^2 + n — 132 = 0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое нужно решить.

5. Находим дискриминант:

Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -132$. Подставляем эти значения в формулу:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$$

6. Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

Теперь извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{529} = 23$$

7. Находим корни уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем найденные значения $b = 1$, $D = 529$, $a = 1$:

$$n = \frac{-1 \pm 23}{2}$$

Это даёт два возможных корня:

$$n_1 = \frac{-1 — 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \quad (\text{не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной})$$

$$n_2 = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11 \quad (\text{подходит, это количество чисел})$$

8. Ответ:

Значит, для того чтобы сумма чисел была равна 66, нужно сложить все числа от 1 до 11. То есть, $n = 11$.

9. Дополнительная задача:

Теперь, чтобы найти, сколько натуральных чисел нужно сложить, чтобы их сумма была больше 55, рассмотрим следующее.

Чтобы сумма чисел была равна 66, нужно сложить все числа от 1 до 11. Если от 66 вычесть 11, получим 55. Задача требует, чтобы сумма была больше 55, а это возможно, если сложить все числа от 1 до 11, так как 66 > 55. Таким образом, минимальное количество чисел для достижения суммы, превышающей 55, равно 11.

10. Ответ:

Необходимо сложить все числа от 1 до 11. Ответ: 11.