ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 482 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сумму $n$ последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно вычислить по формуле $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$. Определите, сколько натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получилось 66. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел от 1 до $n$ надо сложить, чтобы их сумма была больше 55?

Определим, сколько натуральных чисел надо сложить, чтобы в сумме получилось 66:

$$\frac{n(n+1)}{2}=66\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$n(n+1)=66\cdot 2$$

$$n^2+n-132=0$$

$$D=1+4\cdot 132=529=\sqrt{529}=23.$$

$$n_1=\frac{-1-23}{2}=\frac{-24}{2}=-12<0\text{— не подходит};$$

$$n_2=\frac{-1+23}{2}=\frac{22}{2}=11\text{— то есть, надо сложить все натуральные числа от 1 до 11.}$$

Определим, сколько натуральных чисел надо сложить, чтобы в сумме получилось больше 55.

Чтобы в сумме было число 66, надо сложить все числа от 1 до 11. Значит, если от 66 вычесть 11, будет 55. А в задаче требуется, чтобы сумма была больше 55. Значит, надо сложить все числа от 1 до 11 — наименьшее число последовательных натуральных чисел 11.

Ответ: от 1 до 11; 11.

1. Дано:

Необходимо определить, сколько натуральных чисел нужно сложить, чтобы их сумма была равна 66.

2. Формула суммы первых 

$\mathrm{n }$натуральных чисел:

Сумма первых $\mathrm{n }$натуральных чисел выражается через формулу:

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

где $n$ — это количество чисел, которые мы складываем.

Мы знаем, что сумма этих чисел должна быть равна 66.

Подставим в формулу:

$$\frac{n(n+1)}{2}=66$$

3. Умножаем обе части уравнения на 2:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$$n(n+1)=66\cdot 2$$

$$n(n+1)=132$$

4. Получаем квадратное уравнение:

Перепишем уравнение в стандартной форме:

$$n^2+n-132=0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое нужно решить.

5. Находим дискриминант:

Для решения квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта $D$:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=1$, $c=-132$.

Подставляем эти значения в формулу:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-132)=1+528=529$$

6. Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

Теперь извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{529}=23$$

7. Находим корни уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$n=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем найденные значения $b=1$, $D=529$, $a=1$:

$$n=\frac{-1\pm 23}{2}$$

Это даёт два возможных корня:

$$n_1=\frac{-1-23}{2}=\frac{-24}{2}=-12(\text{не подходит})$$

$$n_2=\frac{-1+23}{2}=\frac{22}{2}=11(\text{подходит})$$

8. Ответ:

Значит, для того чтобы сумма чисел была равна 66, нужно сложить все числа от 1 до 11.

То есть, $n=11$.

9. Дополнительная задача:

Теперь, чтобы найти, сколько натуральных чисел нужно сложить, чтобы их сумма была больше 55, рассмотрим следующее.

Чтобы сумма чисел была равна 66, нужно сложить все числа от 1 до 11. Если от 66 вычесть 11, получим 55. Задача требует, чтобы сумма была больше 55, а это возможно, если сложить все числа от 1 до 11, так как 66 > 55. Таким образом, минимальное количество чисел для достижения суммы, превышающей 55, равно 11.

10. Ответ:

Необходимо сложить все числа от 1 до 11. Ответ: 11.