ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 481 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Существует ли прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются последовательными четными числами? последовательными нечетными числами?

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника равны $n$, $n + 2$, $n + 4$.

Составим уравнение, используя теорему Пифагора:

$$n^2+(n+2{)}^2=(n+4{)}^2$$

$$n^2 + (n + 2)^2 = (n + 4)^2$$ $$n^2+n^2+4n+4-n^2-8n-16=0$$

$$n^2 + n^2 + 4n + 4 — n^2 — 8n — 16 = 0$$ $$n^2-4n-12=0$$

$$n^2 — 4n — 12 = 0$$ $$D=4+12=16=\sqrt{16}=4.$$

$$D = 4 + 12 = 16 = \sqrt{16} = 4.$$ $$n_1 = \frac{2 — 4}{1} = -2 < 0 \quad \text{— не подходит};$$ $$n_2 = \frac{2 + 4}{1} = 6.$$

Тогда, длины сторон прямоугольного треугольника равны $6$, $8$ и $10$ единицам. Таким образом, треугольник, длины сторон которого выражаются последовательными четными числами, существует, а треугольник, у которого длины сторон — последовательные нечетные числа, не существует.

1. Дано:

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника равны $n$, $n + 2$, $n + 4$. Нужно найти такие значения $n$, при которых эти три числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

2. Теорема Пифагора:

Для прямоугольного треугольника теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если $n$, $n + 2$, $n + 4$ — это стороны прямоугольного треугольника, то гипотенуза должна быть самой длинной стороной, то есть $n + 4$. Тогда катеты будут $n$ и $n + 2$.

Составляем уравнение с использованием теоремы Пифагора:

$$n^2 + (n + 2)^2 = (n + 4)^2$$

3. Раскрываем скобки и упрощаем:

Теперь раскроем скобки:

$$n^2 + (n + 2)^2 = (n + 4)^2$$

Раскрываем $(n + 2)^2$ и $(n + 4)^2$:

$$n^2 + (n^2 + 4n + 4) = (n^2 + 8n + 16)$$

Теперь упростим уравнение:

$$n^2 + n^2 + 4n + 4 = n^2 + 8n + 16$$

4. Переносим все на одну сторону:

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$n^2 + n^2 + 4n + 4 — n^2 — 8n — 16 = 0$$

Упрощаем уравнение:

$$n^2 — 4n — 12 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:

Мы получили квадратное уравнение $n^2 — 4n — 12 = 0$. Решим его с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, $c = -12$. Подставляем в формулу:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$n = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 8}{2}$$

6. Находим корни:

Таким образом, у нас есть два корня:

$$n_1 = \frac{4 — 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \quad (\text{не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной})$$ $$n_2 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

7. Проверка:

Для $n = 6$ длины сторон прямоугольного треугольника будут:

$$6, \, 6 + 2 = 8, \, 6 + 4 = 10$$

Проверим, что это действительно прямоугольный треугольник. Проверим теорему Пифагора:

$$6^2+8^2={10}^2$$

$$6^2 + 8^2 = 10^2$$ $$36 + 64 = 100$$ $$100 = 100 \quad (\text{верно, значит треугольник существует})$$

8. Ответ:

Длины сторон прямоугольного треугольника равны $6$, $8$ и $10$ единицам. Таким образом, треугольник, длины сторон которого выражаются последовательными четными числами, существует. Треугольник с последовательными нечетными числами сторон не существует.

Ответ: $6$, $8$, $10$.