ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 480 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Витрина магазина имеет размер 3 х 4 м. При окраске здания на стекло по периметру витрины наклеили защитную бумажную ленту, чтобы не закрасить стекло. Лента закрыла площадь, равную половине площади витрины. Найдите ширину бумажной ленты.

Пусть $x$ м — ширина бумажной ленты, тогда размеры витрины равны $4 — 2x$ м и $3 — 2x$ м. Площадь витрины: $3 \cdot 4 = 12 \, \text{м}^2$.

А лента закрыла: $12 : 2 = 6 \, \text{м}^2$.

Составим уравнение:

$$(4-2x)(3-2x)=6$$

$$(4 — 2x)(3 — 2x) = 6$$ $$12-8x-6x+4x^2-6=0$$

$$12 — 8x — 6x + 4x^2 — 6 = 0$$ $$4x^2-14x+6=0\mathrm{\mid }:2$$

$$4x^2 — 14x + 6 = 0 \quad | : 2$$ $$2x^2-7x+3=0$$

$$2x^2 — 7x + 3 = 0$$ $$D=49-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25=\sqrt{25}=5.$$

$$D = 49 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25 = \sqrt{25} = 5.$$ $$x_1 = \frac{7 — 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \, (\text{м}) \quad \text{— ширина бумажной ленты};$$ $$x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{— не подходит}.$$

Ответ: $0,5$ м.

1. Дано:

Пусть $x$ м — ширина бумажной ленты. Тогда размеры витрины (с учетом ленты) равны $4 — 2x$ м и $3 — 2x$ м. Площадь витрины без ленты равна:

$$\text{Площадь витрины} = 3 \cdot 4 = 12 \, \text{м}^2$$

Однако лента закрывает часть витрины. Площадь, которую закрыла лента, составляет:

$$\text{Площадь, закрытая лентой} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{м}^2$$

Таким образом, площадь, оставшаяся для витрины после того, как лента её закрыла, составляет 6 м².

2. Составляем уравнение:

Площадь витрины с лентой можно выразить как произведение длин и ширин витрины с учетом ленты. Размеры витрины с лентой составляют $(4 — 2x)$ м и $(3 — 2x)$ м, так как лента уменьшает оба размера витрины на $2x$.

Итак, уравнение для площади витрины с лентой:

$$(4 — 2x)(3 — 2x) = 6$$

3. Раскрываем скобки:

Теперь раскроем скобки в уравнении:

$$(4-2x)(3-2x)=4(3-2x)-2x(3-2x)$$

$$(4 — 2x)(3 — 2x) = 4(3 — 2x) — 2x(3 — 2x)$$ $$=12-8x-6x+4x^2$$

$$= 12 — 8x — 6x + 4x^2$$ $$= 12 — 14x + 4x^2$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$12 — 14x + 4x^2 = 6$$

4. Переносим все на одну сторону:

Переносим 6 на левую сторону уравнения:

$$12-14x+4x^2-6=0$$

$$12 — 14x + 4x^2 — 6 = 0$$ $$4x^2 — 14x + 6 = 0$$

5. Делим на 2:

Чтобы упростить уравнение, поделим обе стороны на 2:

$$\frac{4x^2}{2}-\frac{14x}{2}+\frac{6}{2}=0$$

$$\frac{4x^2}{2} — \frac{14x}{2} + \frac{6}{2} = 0$$ $$2x^2 — 7x + 3 = 0$$

Теперь у нас квадратное уравнение: $2x^2 — 7x + 3 = 0$.

6. Находим дискриминант:

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.

Подставляем значения:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25$$

Таким образом, дискриминант $D = 25$, и $\sqrt{25} = 5$.

7. Находим корни уравнения:

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{7 — 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \, (\text{м}) \quad \text{— ширина бумажной ленты}$$ $$x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{— не подходит, так как ширина ленты не может быть равна 3 м (размер витрины слишком мал для такой ширины)}$$

8. Ответ:

Ширина бумажной ленты составляет $0,5$ м.

Ответ: $0,5$ м.