ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 479 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В парке имеется детский бассейн прямоугольной формы со сторонами 6 м и 9 м. Он окружен прогулочной дорожкой, ширина которой везде одинакова. Площадь дорожки равна площади бассейна. Найдите ширину дорожки.

Пусть ширина дорожки равна $x$ м, тогда размеры бассейна вместе с дорожкой равны $9 + 2x$ м и $6 + 2x$ м.

Площадь бассейна равна: $9 \cdot 6 = 54 \, \text{м}^2$ — столько же и площадь дорожки. Тогда их площадь вместе равна $54 \cdot 2 = 108 \, \text{м}^2$.

Составим уравнение:

$$(9+2x)(6+2x)=108$$

$$(9 + 2x)(6 + 2x) = 108$$ $$54+18x+12x+4x^2-108=0$$

$$54 + 18x + 12x + 4x^2 — 108 = 0$$ $$4x^2+30x-54=0\mathrm{\mid }:2$$

$$4x^2 + 30x — 54 = 0 \quad | : 2$$ $$2x^2+15x-27=0$$

$$2x^2 + 15x — 27 = 0$$ $$D=225+4\cdot 2\cdot 27=225+216=441=\sqrt{441}=21.$$

$$D = 225 + 4 \cdot 2 \cdot 27 = 225 + 216 = 441 = \sqrt{441} = 21.$$ $$x_1=\frac{-15-21}{4}=\frac{-36}{4}=-9<0\text{— не подходит};$$

$$x_1 = \frac{-15 — 21}{4} = \frac{-36}{4} = -9 < 0 \quad \text{— не подходит};$$ $$x_2 = \frac{-15 + 21}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \, (\text{м}) \quad \text{— ширина дорожки}.$$

Ответ: $1,5$ м.

1. Дано:

Пусть ширина дорожки равна $x$ м. Тогда размеры бассейна вместе с дорожкой составляют $9 + 2x$ м и $6 + 2x$ м. Площадь самого бассейна равна $9 \cdot 6 = 54 \, \text{м}^2$. Площадь дорожки такая же, то есть тоже равна $54 \, \text{м}^2$. Тогда общая площадь бассейна и дорожки вместе составляет:

$$54 \cdot 2 = 108 \, \text{м}^2$$

2. Составляем уравнение:

Общая площадь бассейна и дорожки можно выразить через размеры бассейна с дорожкой. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

$$S = \text{длина} \times \text{ширина}$$

Таким образом, площадь бассейна и дорожки:

$$(9 + 2x)(6 + 2x) = 108$$

3. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

Теперь раскроем скобки:

$$(9 + 2x)(6 + 2x) = 9(6 + 2x) + 2x(6 + 2x)$$ $$= 54 + 18x + 12x + 4x^2$$ $$= 54 + 30x + 4x^2$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$54 + 30x + 4x^2 = 108$$

4. Переносим все в одну сторону:

Переносим 108 на левую сторону уравнения:

$$54 + 30x + 4x^2 — 108 = 0$$

Упрощаем:

$$4x^2 + 30x — 54 = 0$$

5. Делим на 2:

Чтобы упростить коэффициенты, делим все уравнение на 2:

$$\frac{4x^2}{2} + \frac{30x}{2} — \frac{54}{2} = 0$$

Получаем:

$$2x^2 + 15x — 27 = 0$$

6. Находим дискриминант:

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 2$, $b = 15$, $c = -27$.

Подставляем значения:

$$D = 15^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$$

Таким образом, $D = 441$, и $\sqrt{441} = 21$.

7. Находим корни уравнения:

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-15 \pm 21}{2 \cdot 2} = \frac{-15 \pm 21}{4}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{-15 — 21}{4} = \frac{-36}{4} = -9 \quad (\text{не подходит, так как ширина не может быть отрицательной})$$ $$x_2 = \frac{-15 + 21}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \, (\text{м}) \quad (\text{подходит, это ширина дорожки})$$

8. Ответ:

Ширина дорожки составляет $1,5$ м.

Ответ: $1,5$ м.