ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 477 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из металлического листа, имеющего форму прямоугольника, длина которого в 1,5 раза больше ширины, сделан открытый сверху ящик. Для этого по углам листа вырезаны квадраты со стороной 3 дм и получившиеся боковые грани загнуты. Найдите размеры листа, если объем получившегося ящика оказался равным 216 дм^3.

Пусть ширина листа $x$ дм, тогда длина $1,5x$ дм. Дно коробки равно $x — 6$ дм и $1,5x — 6$ дм, а высота равна 3 дм.

Составим уравнение:

$$3(1,5x-6)(x-6)=216$$

$$3(1,5x — 6)(x — 6) = 216$$ $$3(1,5x^2-9x-6x+36)=216$$

$$3(1,5x^2 — 9x — 6x + 36) = 216$$ $$4,5x^2-45x+108-216=0$$

$$4,5x^2 — 45x + 108 — 216 = 0$$ $$4,5x^2-45x-108=0\mathrm{\mid }:4,5$$

$$4,5x^2 — 45x — 108 = 0 \quad | : 4,5$$ $$x^2-10x-24=0$$

$$x^2 — 10x — 24 = 0$$ $$D=25+24=49=\sqrt{49}=7.$$

$$D = 25 + 24 = 49 = \sqrt{49} = 7.$$ $$x_1=\frac{5-7}{1}=-2<0\text{— не подходит};$$

$$x_1 = \frac{5 — 7}{1} = -2 < 0 \quad \text{— не подходит};$$ $$x_2=\frac{5+7}{1}=12(\text{дм})\text{— ширина листа}\mathrm{.}$$

$$x_2 = \frac{5 + 7}{1} = 12 \, (\text{дм}) \quad \text{— ширина листа}.$$ $$1,5x = 1,5 \cdot 12 = 18 \, (\text{дм}) \quad \text{— длина листа}.$$

Ответ: $12$ дм и $18$ дм.

1. Дано:

Пусть ширина листа коробки $x$ дм. Тогда длина коробки $1,5x$ дм. Дно коробки имеет размеры $x — 6$ дм и $1,5x — 6$ дм, а высота коробки равна 3 дм.

Нам нужно найти ширину и длину листа, который используется для создания коробки, при этом объем коробки составляет 216 кубических дм.

2. Составляем уравнение для объема коробки:

Объем коробки можно вычислить по формуле:

$$V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$$

Длина коробки равна $1,5x — 6$ дм, ширина — $x — 6$ дм, высота — 3 дм.

Тогда объем коробки равен:

$$V = 3(x — 6)(1,5x — 6) = 216$$

3. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

Перемножим выражения в скобках:

$$(x — 6)(1,5x — 6) = x(1,5x — 6) — 6(1,5x — 6)$$

Раскрываем каждую часть:

$$x(1,5x — 6) = 1,5x^2 — 6x$$ $$-6(1,5x — 6) = -9x + 36$$

Теперь объединяем все части:

$$(x — 6)(1,5x — 6) = 1,5x^2 — 6x — 9x + 36 = 1,5x^2 — 15x + 36$$

Теперь подставляем это в исходное уравнение для объема:

$$3(1,5x^2 — 15x + 36) = 216$$

4. Упростим уравнение:

Теперь умножим все внутри скобок на 3:

$$3 \cdot 1,5x^2 — 3 \cdot 15x + 3 \cdot 36 = 216$$

Получаем:

$$4,5x^2 — 45x + 108 = 216$$

Теперь переносим 216 на левую сторону уравнения:

$$4,5x^2 — 45x + 108 — 216 = 0$$ $$4,5x^2 — 45x — 108 = 0$$

5. Делим уравнение на 4,5:

Чтобы упростить коэффициенты, делим обе стороны уравнения на 4,5:

$$\frac{4,5x^2}{4,5} — \frac{45x}{4,5} — \frac{108}{4,5} = 0$$ $$x^2 — 10x — 24 = 0$$

Теперь у нас простое квадратное уравнение.

6. Находим дискриминант:

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -10$, $c = -24$.

Подставляем значения:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$

7. Находим корни уравнения:

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 14}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{10 — 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

8. Проверка корней:

Корень $x_1 = -2$ не подходит, так как ширина листа не может быть отрицательной.

Оставляем корень $x_2 = 12$ дм.

9. Вычисляем длину листа:

Длина листа $1,5x$ равна:

$$1,5x = 1,5 \cdot 12 = 18 \, (\text{дм})$$

10. Ответ:

Ширина листа составляет 12 дм, а длина — 18 дм.

Ответ: $12$ дм и $18$ дм.