ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 477 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из металлического листа, имеющего форму прямоугольника, длина которого в 1,5 раза больше ширины, сделан открытый сверху ящик. Для этого у углов листа вырезаны квадраты со стороной $3 \, \text{дм}$ и получившиеся боковые грани загнуты. Найдите размеры листа, если объём получившегося ящика оказался равным $216 \, \text{дм}^3$.

Пусть ширина листа $x$ дм, тогда длина $1,5x$ дм. Дно коробки равно $x-6$ дм и $1,5x-6$ дм, а высота равна 3 дм.

Составим уравнение:

$$3(1,5x-6)(x-6)=216$$

$$$$$$3(1,5x^2-9x-6x+36)=216$$

$$$$$$4,5x^2-45x+108-216=0$$

$$$$$$4,5x^2-45x-108=0\mathrm{\mid }:4,5$$

$$$$$$x^2-10x-24=0$$

$$$$$$D=25+24=49=\sqrt{49}=7.$$

$$$$$$x_1=\frac{5-7}{1}=-2<0\text{— не подходит};$$

$$$$$$x_2=\frac{5+7}{1}=12(\text{дм})\text{— ширина листа}\mathrm{.}$$

$$$$$$1,5x=1,5\cdot 12=18(\text{дм})\text{— длина листа}\mathrm{.}$$

Ответ: $12$ дм и $18$ дм.

1. Дано:

Пусть ширина листа коробки $x$ дм. Тогда длина коробки $1,5x$ дм. Дно коробки имеет размеры $x-6$ дм и $1,5x-6$ дм, а высота коробки равна 3 дм.

Нам нужно найти ширину и длину листа, который используется для создания коробки, при этом объем коробки составляет 216 кубических дм.

2. Составляем уравнение для объема коробки:

Объем коробки можно вычислить по формуле:

$$V=\text{длина}\times \text{ширина}\times \text{высота}$$

Длина коробки равна $1,5x-6$ дм, ширина — $x-6$ дм, высота — 3 дм.

Тогда объем коробки равен:

$$V=3(x-6)(1,5x-6)=216$$

3. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

Перемножим выражения в скобках:

$$(x-6)(1,5x-6)=x(1,5x-6)-6(1,5x-6)$$

Раскрываем каждую часть:

$$x(1,5x-6)=1,5x^2-6x$$$$-6(1,5x-6)=-9x+36$$

Теперь объединяем все части:

$$(x-6)(1,5x-6)=1,5x^2-6x-9x+36=1,5x^2-15x+36$$

Теперь подставляем это в исходное уравнение для объема:

$$3(1,5x^2-15x+36)=216$$

4. Упростим уравнение:

Теперь умножим все внутри скобок на 3:

$$3\cdot 1,5x^2-3\cdot 15x+3\cdot 36=216$$

Получаем:

$$4,5x^2-45x+108=216$$

Теперь переносим 216 на левую сторону уравнения:

$$4,5x^2-45x+108-216=0$$$$4,5x^2-45x-108=0$$

5. Делим уравнение на 4,5:

Чтобы упростить коэффициенты, делим обе стороны уравнения на 4,5:

$$\frac{4,5x^2}{4,5}-\frac{45x}{4,5}-\frac{108}{4,5}=0$$$$x^2-10x-24=0$$

Теперь у нас простое квадратное уравнение.

6. Находим дискриминант:

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=-10$, $c=-24$.

Подставляем значения:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot (-24)=100+96=196$$

7. Находим корни уравнения:

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{196}}{2\cdot 1}=\frac{10\pm 14}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1=\frac{10-14}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$$$x_2=\frac{10+14}{2}=\frac{24}{2}=12$$

8. Проверка корней:

Корень $x_1=-2$ не подходит, так как ширина листа не может быть отрицательной.

Оставляем корень $x_2=12$ дм.

9. Вычисляем длину листа:

Длина листа $1,5x$ равна:

$$1,5x=1,5\cdot 12=18(\text{дм})$$

10. Ответ:

Ширина листа составляет 12 дм, а длина — 18 дм.

Ответ: $12$ дм и $18$ дм.