ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 475 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v \, \text{м/с}$, то высота, на которой оно окажется через $t \, \text{с}$, может быть приближённо найдена по формуле $h = vt — 5t^2$. Используя эту формулу, решите задачу:

а) Футболист на тренировке подбросил ногой мяч вертикально вверх. Если он подбросил мяч, сообщив ему начальную скорость $15 \, \text{м/с}$, то через сколько секунд мяч окажется в $10 \, \text{м}$ над землёй?

б) Футболист, подбрасывая мяч ногой, сообщил ему начальную скорость $20 \, \text{м/с}$. Взлетит ли мяч выше берёзы, высотой которой $15 \, \text{м}$? Взлетит ли он выше дома, высотой которого $22 \, \text{м}$?

$h = vt — 5t^2$;

а) В $10 \, \text{м}$ над землёй мяч окажется через $(h = 10 \, \text{м}; v = 15 \, \text{м/с})$:

$vt — 5t^2 — h = 0$

$15t — 5t^2 — 10 = 0 \quad | : (-5)$

$t^2 — 3t + 2 = 0$

$D = 9 — 4 \cdot 2 = 1$.

$t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \, (\text{сек}); \quad t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \, (\text{сек}).$

То есть, мяч будет в $10 \, \text{м}$ над землёй через $1 \, \text{сек}$ (когда ещё летит вверх) и через $2 \, \text{сек}$ (когда уже летит вниз).

Ответ: через $1 \, \text{сек}$ и $2 \, \text{сек}$.

б) Проверим, взлетит ли мяч выше берёзы, высотой которой $15 \, \text{м}$:

$15 = 20t — 5t^2$

$5t^2 — 20t + 15 = 0 \quad | : 5$

$t^2 — 4t + 3 = 0$

$D = 4 — 3 = 1$.

$t_1 = 2 — 1 = 1 \, (\text{сек}); \quad t_2 = 2 + 1 = 3 \, (\text{сек}).$

Значит, через $1 \, \text{сек}$ и через $3 \, \text{сек}$ после удара мяч будет на высоте берёзы, а в промежутке между $1 \, \text{сек}$ и $3 \, \text{сек}$ он будет выше берёзы.

Проверим, взлетит ли мяч выше дома, высота которого $22 \, \text{м}$:

$22 = 20t — 5t^2$

$5t^2 — 20t + 22 = 0$

$D = 100 — 5 \cdot 22 = 100 — 110 = -10 < 0$ — корней нет.

Значит, мяч не может взлететь на высоту $22 \, \text{м}$.

Ответ: мяч взлетит на высоту выше $15 \, \text{м}$; мяч не взлетит на высоту выше $22 \, \text{м}$.

1. Формулировка задачи:
Имеем уравнение движения мяча:

$$h=vt-5t^2;$$

где:

• $h$ — высота мяча,
• $v$ — скорость мяча (в данном случае $v=15\text{м/с}$),
• $t$ — время в секундах,
• $5t^2$ — член, отвечающий за ускорение мяча (ускорение свободного падения).

Нужно рассчитать время, через которое мяч окажется на высоте 10 м, и проверить, будет ли он лететь выше высот березы (15 м) и дома (22 м).

2. Решение задачи:

а) В 10 м над землей мяч окажется через (h = 10 м; v = 15 м/с):

Исходное уравнение:

$$h=vt-5t^2\mathrm{.}$$

Подставим данные:

$$10=15t-5t^2\mathrm{.}$$

Перепишем уравнение, приведя все к одной стороне:

$$15t-5t^2-10=0.$$

Чтобы упростить решение, разделим обе части уравнения на $-5$:

$$t^2-3t+2=0.$$

Теперь решаем это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1.$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$t_1=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{3-1}{2}=1(\text{сек});$$$$t_2=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{3+1}{2}=2(\text{сек})\mathrm{.}$$

Таким образом, мяч будет на высоте 10 м через 1 сек (когда летит вверх) и через 2 сек (когда летит вниз).

Ответ: мяч будет в 10 м над землей через 1 сек и 2 сек.

б) Проверим, взлетит ли мяч выше березы, высота которой 15 м:

Теперь подставим в исходное уравнение $h=15$:

$$15=20t-5t^2\mathrm{.}$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$5t^2-20t+15=0.$$

Для удобства делим уравнение на 5:

$$t^2-4t+3=0.$$

Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их с помощью формулы для корней:

$$t_1=\frac{-(-4)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=1(\text{сек});$$$$t_2=\frac{-(-4)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=3(\text{сек})\mathrm{.}$$

Таким образом, через 1 сек и через 3 сек мяч будет на высоте 15 м. А в промежутке между 1 сек и 3 сек мяч будет выше березы.

Ответ: мяч будет выше березы между 1 сек и 3 сек.

в) Проверим, взлетит ли мяч выше дома, высота которого 22 м:

Теперь подставим $h=22$ в исходное уравнение:

$$22=20t-5t^2\mathrm{.}$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$5t^2-20t+22=0.$$

Для нахождения дискриминанта, используем формулу:

$$D=(-20{)}^2-4\cdot 5\cdot 22=400-440=-40.$$

Дискриминант отрицателен, что означает отсутствие корней. Это значит, что мяч не сможет достичь высоты 22 м.

Ответ: мяч не взлетит на высоту 22 м.

Итоговый ответ:

• Мяч взлетит на высоту выше 15 м.
• Мяч не взлетит на высоту выше 22 м.