ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 473 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Тысячи лет назад пифагорейцы исследовали фигурные числа, и в частности треугольные числа, которые изображаются в виде треугольников (рис.3.4). Треугольное число с номером n равно n(n+1)/2. Есть ли среди треугольных чисел число 30? число 120? Если есть, укажите его номер.

1) Проверим, если среди треугольных чисел число 30:

$$\frac{n(n+1)}{2}=30\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$\frac{n(n + 1)}{2} = 30 \quad | \cdot 2$$ $$n(n+1)=60$$

$$n(n + 1) = 60$$ $$n^2+n-60=0$$

$$n^2 + n — 60 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 60 = 1 + 240 = 241.$$ $$n_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{241}}{2} \quad \text{(не натуральное число, такого треугольного числа нет)}.$$

2) Проверим, если среди треугольных чисел число 120:

$$\frac{n(n+1)}{2}=120\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$\frac{n(n + 1)}{2} = 120 \quad | \cdot 2$$ $$n(n+1)=240$$

$$n(n + 1) = 240$$ $$n^2+n-240=0$$

$$n^2 + n — 240 = 0$$ $$D=1^2+4\cdot 1\cdot 240=1+960=961=\sqrt{961}=31.$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1 + 960 = 961 = \sqrt{961} = 31.$$ $$n_1 = \frac{-1 — 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \quad \text{(не подходит, не натуральное число)}; \quad n_2 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{(треугольное число 120 под номером 15)}.$$

Ответ: треугольного числа 30 не существует; треугольное число 120 под номером 15.

1) Проверим, если среди треугольных чисел число 30:

Треугольное число $T_n$ определяется как:

$$T_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

Нам нужно проверить, является ли 30 треугольным числом. Подставим 30 в уравнение для треугольного числа:

$$\frac{n(n + 1)}{2} = 30$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$n(n + 1) = 60$$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$$n^2 + n = 60$$

Переносим 60 на левую сторону:

$$n^2 + n — 60 = 0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти корни, воспользуемся дискриминантом.

Вычисление дискриминанта:

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = 1$, $c = -60$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 1 + 240 = 241$$

Корень из дискриминанта:

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{241} \approx 15.52$$

Так как корень не является целым числом, значит, у уравнения нет целых корней. Это означает, что число 30 не является треугольным числом.

Ответ: треугольного числа 30 не существует.

2) Проверим, если среди треугольных чисел число 120:

Используем ту же формулу для треугольного числа:

$$\frac{n(n + 1)}{2} = 120$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$n(n + 1) = 240$$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$$n^2 + n = 240$$

Переносим 240 на левую сторону:

$$n^2 + n — 240 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение.

Вычисление дискриминанта:

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = 1$, $c = -240$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$$

Корень из дискриминанта:

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{961} = 31$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 1$, $D = 961$, $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-1 — 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \quad \text{(не подходит, так как \( n \) не может быть отрицательным)}$$ $$n_2 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

Ответ:

Так как $n_2 = 15$ является натуральным числом, это означает, что 120 — это 15-е треугольное число.

Ответ: треугольное число 120 под номером 15.

Итоговый ответ:

• Треугольного числа 30 не существует.
• Треугольное число 120 под номером 15.