ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 472 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Число диагоналей выпуклого $n$-угольника равно $\frac{n(n — 3)}{2}$. Существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей? 25 диагоналей? Если существует, то укажите число его сторон.

Многоугольник существует, если уравнение имеет корень, являющийся натуральным числом.

1) Проверим, существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей:

$$\frac{n(n-3)}{2}=77\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$$$$$n(n-3)=154$$

$$$$$$n^2-3n-154=0$$

$$$$$$D=(-3{)}^2+4\cdot 1\cdot 154=9+616=625=\sqrt{625}=25.$$$$n_1=\frac{3-25}{2}=\frac{-22}{2}=-11\text{(не подходит)};n_2=\frac{3+25}{2}=\frac{28}{2}=14$$

$$\text{(натуральное число — число сторон многоугольника)}\mathrm{.}$$

Значит, такой многоугольник существует.

2) Проверим, существует ли многоугольник, в котором 25 диагоналей:

$$\frac{n(n-3)}{2}=25\mathrm{\mid }\cdot 2$$

$$$$$$n(n-3)=50$$

$$$$$$n^2-3n-50=0$$

$$$$$$D=(-3{)}^2+4\cdot 1\cdot 50=9+200=209.$$

$$$$$$n_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{209}}{2}\text{(не подходит)}\mathrm{.}$$

Значит, такого многоугольника не существует.

Ответ: $14$ — угольник имеет 77 диагоналей; 25 диагоналей не имеет ни один многоугольник.

Дано:
Необходимо проверить, существует ли многоугольник с заданным количеством диагоналей. Многоугольник существует, если уравнение, полученное для количества диагоналей, имеет корень, являющийся натуральным числом.

1) Проверим, существует ли многоугольник, в котором 77 диагоналей:

Используем формулу для количества диагоналей $D$ многоугольника с $n$ сторонами:

$$D=\frac{n(n-3)}{2}$$

В данном случае количество диагоналей равно 77, то есть:

$$\frac{n(n-3)}{2}=77$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$n(n-3)=154$$

Перепишем уравнение:

$$n^2-3n=154$$

Переносим 154 на левую сторону:

$$n^2-3n-154=0$$

Теперь это стандартное квадратное уравнение.

Вычисление дискриминанта:

Для нахождения корней квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ используется формула для дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем уравнении $a=1$, $b=-3$, $c=-154$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-154)=9+616=625$$

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{625}=25$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$n=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b=-3$, $D=625$, и $a=1$:

$$n_1=\frac{-(-3)-25}{2}=\frac{3-25}{2}=\frac{-22}{2}=-11$$

$$\text{(не подходит, так как число сторон не может быть отрицательным)}$$$$n_2=\frac{-(-3)+25}{2}=\frac{3+25}{2}=\frac{28}{2}=14$$

Ответ:

Так как $n_2=14$ — это натуральное число, значит, такой многоугольник существует.

Ответ: многоугольник с 77 диагоналями существует, и у него 14 сторон.

2) Проверим, существует ли многоугольник, в котором 25 диагоналей:

Используем ту же формулу для количества диагоналей $D$ многоугольника с $n$ сторонами:

$$\frac{n(n-3)}{2}=25$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$n(n-3)=50$$

Перепишем уравнение:

$$n^2-3n=50$$

Переносим 50 на левую сторону:

$$n^2-3n-50=0$$

Теперь это стандартное квадратное уравнение.

Вычисление дискриминанта:

Для нахождения корней квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем уравнении $a=1$, $b=-3$, $c=-50$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-50)=9+200=209$$

Корень из дискриминанта:

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{209}\approx 14.45$$

Корень не является целым числом, что означает, что корней в действительных числах не будет, а следовательно, число сторон не может быть натуральным.

Ответ:

Так как корень из дискриминанта не является целым числом, значит, многоугольник с 25 диагоналями не существует.

Ответ: многоугольник с 25 диагоналями не существует.

Итоговый ответ:

• Многоугольник с 77 диагоналями существует, и у него 14 сторон.
• Многоугольник с 25 диагоналями не существует.